Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2

Blaai deur onderwerpe vir Senior Sekondêr 3 1ste, 2de en 3de Kwartaal, Alle Weke, Alle Vakke

  1. Tuis
  2. Lesnotas volgens weke en kwartaal
  3. Senior Sekondêr 3

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 3

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSINGSTEKS

  • Nuwe Algemene Wiskunde vir SS boek 3 deur JB Channon
  • Noodsaaklike Wiskunde vir SS boek 3
  • Wiskunde Eksamen Fokus
  • Waec en Jamb vorige vrae


WEEK VYF

ONDERWERP: Differensiasie van algebraïese funksies

  • Differensiasie van algebraïese funksies
  • Basiese reëls van differensiasie soos som en verskil, produkreël, kwosiëntreël
  • Maksimum en minimum toediening.

Afgeleide van algebraïese funksies

Laat f, u, v funksies so wees dat

f(x) = u(x) + v(x)

f(x +x) = u(x +x) + v(x + x)

f(x + x) – f(x) = {u(x+ x) + v(x+ x) – v(x + x) – u(x) – v(x)}

        = u (x +x) – u(x) + v(x +x) – v(x)

f(x + x) – f(x) = u(x +x)-u(x) + v(x +x) – v(x)                

Limiet f(x + x) – f(x) = U 1 (x) + V 1 (x)

as y = u + v en u en v funksies van x is, dan is dy/dx = du/dx + dv/dx

Voorbeelde : Vind die afgeleide van die volgende

1) 2x 3 – 5 x 2 + 2 2)3x 2 + 1/x 3)2x 3 + 2x 2 +1

Oplossing

  1. Laat y = 2x 3 – 5x 2 + 2

    dy/dx = 6x 2 – 10x

  1. Laat y = 3x 2 + 1/x = 3x 2 + x -1

    dy/dx = 6x – x -2 = 6x – 1

x 2

  1. Laat y = 2x 3 + 2x 2 + 1

dy/dx=6x 2 + 4x

           

Evaluering: 1. As y = 3x 4 – 2x 3 – 7x + 5. Vind dy/dx

2.Vind d (8x 3 – 5x 2 + 6)

Dx

Funksie van 'n funksie (kettingreël)

Gestel ons weet dat y 'n funksie van u is en dat u 'n funksie van x is, hoe vind ons die afgeleide van y met betrekking tot x?

Gegee dat y = f(x) en u = h(x), wat is dy/dx?

dy/dx = , dit word die kettingreël genoem

Voorbeelde

Vind die afgeleide van die volgende.(a)y = (3x 2 – 2) 3 (b) y = (1 – 2x 3 ) (c) 5/(6-x 2 ) 3

Oplossing

  1. y = (3x 2 – 2) 3

    Laat u = 3x 2 – 2

    y = (3x 2 – 2) 3 => y = u 3

        y = u 3

        dy/du = 3u 2

        du/dx = 6x

   

    dy/dx = = 3u 2 x 6x

        = 18xu 2 = 18x(3x 2 – 2) 2

  1. y = (1 – 2x 3 ) 1/2 => (1 – 2x 3 ) 1/2

    Laat u =1 – 2x 3 , dus y = u 1/2

    dy/dx = = ½ u -1/2 x( –6x 2 )

            = -3x 2 u – ½ = -3x 2

u 1/2

        -3x 2     = -3x 2    

        √ u     √(1 – 2x 3 )

  1. y = 5     = 5(6 – x 2 ) -3

    (6 – x 2 ) 3

    Laat u = 6 – x 2

    y = 5(u) –3

    dy/du = -15u –4

    du/dx = -2x

    dy/dx = dy/du X du/dx = -15u -4 x (-2x) = 30x u -4 = 30x (6 – x 2 ) -4    

= 30x_

(6 – x 2 ) 4

Evaluering :

  1. Gegee dat y = 1 vind dy/dx

        (2x + 3) 4

  1. As y = (3x 2 + 1) 3 , Vind dy/dx

Produk Reël

Ons sal die afgeleide van y = uv beskou waar u en v funksie van x is.

    Laat y = uv

Dan y + y = (u +u )(v + v)

        = uv + uv + vu +uv

    y = uv + uv + vu+ uv – uv

    y= uv + vu + uv

    y = u v + v u + uv

        x     x    

    As x =>0 ,u=> 0 , v=> 0

    Lim y = Lim uv + Lim vu + Lim uv

    x=>0 x x=>0 x x=>0 x x=>0 x

       

Dus dy/dx = U dv + Vdu

        dxdx

Voorbeelde

Vind die afgeleides van die volgende.

(a)     y = (3 + 2x) (1 – x) (b) y = (1 – 2x + 3x 2 ) (4 – 5x 2 )

    Oplossing

  1. y = (3 + 2x) (1 – x)

    Laat u = 3 + 2x en v = (1 – x)

        du/dx = 2 en dv/dx = -1

    dv/dx = u dv + vdu

        dx     dx

= (1 – x) 2 + (3 + 2x) (-1) = 2 – 2x – 3 – 2x

        dy/dx     = - 1 – 4x

  1. y = (1 – 2x + 3x 2 ) (4 – 5x 2 )

    Laat u = (1 – 2x + 3x 2 ) en v = (4 – 5x 2 )

    du/dx = -2 + 6x en dv/dx = - 10x

    dy/dx = udv + vdu

    dxdx

    = (1 – 2x + 3x 2 ) (-10x) + (4 – 5x 2 ) (- 2 + 6x)

    = - 10x + 20x 2 – 30x 3 + (- 8 + 10x 2 + 24x – 30x 3 )

    = - 10x + 20x 2 – 30x 3 – 8 + 10x 2 + 24x – 30x 3

    = 14x + 30x 2 – 60x 3 – 8

   

Evaluering

Gegee dat (i) y = (5+3x)(2-x) (ii) y = (1+x)(x+2) 3/2 , vind dy /dx

Kwosiëntreël:

As y = u

v

dan; dy = v du - u dv

dxdxdx

v 2

Voorbeelde :

Onderskei die volgende met betrekking tot x. (a) x 2 + 1 (b) (x – 1) 2

1 – x 2 √x

Oplossing:

  1. y = x 2 + 1

1 – x 2

Laat u = x 2 + 1 du/dx = 2x

v= 1 – x 2 dv/dx = - 2x

dy = v du - u dv

dxdxdx

v 2

dy/dx = (1 – x 2 )(2x) – (x 2 + 1)(-2x)

(1 – x 2 ) 2

= 2x – 2x 3 + 2x 3 + 2x

(1 – x 2 ) 2

dy/dx = 4x

  1. – x 2 ) 2

  1. y = (x – 1) 2

√x

Laat u = (x – 1) 2 du/dx = 2(x – 1)

v = √x dv/dx = 1/2√x

dy/dx = √x 2(x - 1) -(x – 1) 2 1/2√x

(√x) 2

dy/dx = √x 2(x - 1) - (x – 1) 2 1/2√x

x

Evaluering: Onderskei met betrekking tot x: (1) (2x + 3) 3 (2) √x

(x 3 – 4) 2 √(x + 1)

Toepassings van differensiasie:

Daar is baie toepassings van differensiaalrekening.

Voorbeelde:

  1. Vind die gradiënt van die kromme y = x 3 – 5x 2 + 6x – 3 by die punt waar x = 3.

Oplossing:

Y = x 3 – 5x 2 + 6x – 3

dy/dx = 3x 2 – 10x + 6

waar x = 3; dy/dx = 3(3 2 ) – 10(3) + 6

= 27 – 30 + 6

= 3.

  1. Vind die koördinate van die punt op die grafiek van y = 5x 2 + 8x – 1 waar die gradiënt – 2 is

Oplossing:

Y = 5x 2 + 8x – 1

dy/dx = 10x + 8

vervang; dy/dx deur – 2

10x + 8 = - 2

10x = - 2 – 8

x = -10/10 = - 1

  1. Vind die punt waar die raaklyn aan die kromme y = x 2 - 4x + 1 by die punt (2, -3)

Oplossing:

Y = x 2 - 4x + 1

dy/dx = 2x – 4

by punt (2, -3): dy/dx = 2(2) – 4

dy/dx = 0

raaklyn aan die kromme: y – y1 = dy/dx(x – x1)

y – (-3) = 0 ( x- 2)

y + 3 = 0

Evaluering :

  1. Vind die koördinate van die punt op die grafiek van y = x 2 + 2x – 10 waar die gradiënt 8 is.
  2. Vind die punt op die kromme y = x 3 + 3x 2 – 9x + 3 waar die gradiënt 15 is.



Snelheid en versnelling

Snelheid : Die snelheid na t sekondes is die tempo van verandering van verplasing met betrekking tot tyd.

Veronderstel; s = afstand en t = tyd,

Toe; Snelheid = ds/dt

Versnelling : Dit is die tempo van verandering van snelheid in vergelyking met tyd.

Versnelling = dv/dt

Voorbeeld:

'n Bewegende liggaam gaan s meter in t sekondes, waar s = 4t 2 – 3t + 5. Vind sy snelheid na 4 sekondes. Wys dat die versnelling konstant is en vind die waarde daarvan.

Oplossing:

S = 4t 2 – 3t + 5

ds/dt = 8t – 3

snelheid = ds/dt = 8(4) – 3

= 32 – 3

= 29

Versnelling: dv/dt = 8.

Maxima en Minimal

  1. Vind die maksimum en minimum waarde van y op die kromme 6x – x 2 .

Oplossing:

y = 6x – x 2

dy/dx = 6 – 2x

gelykstelling/dx = 0

6 – 2x = 0

6 = 2x

X = 3

Die keerpunt is (3, 9)

  1. Vind die maksimum en minimum van die funksie x 3 – 12x + 2.

Oplossing:

Y =x 3 – 12x + 2

dy/dx = 3x 2 – 12

3x 2 – 12 = 0

3x 2 = 12

x 2 = 12/3

x 2 = 4 x = ± 2

minimum punt kom voor wanneer d 2 y/dx 2 > 0

maksimum punt vind plaas wanneer d 2 y/dx 2 < 0

d 2 j/dx 2 = 6x

vervang x = 2; d 2 j/dx 2 = 6 x 2 = 12

dus: die funksie is minimum by punt x = 2 en y = - 14

vervang x = - 2; d 2 j/dx 2 = 6(-2) = -12

dus: die funksie is maksimum by punt x = - 2 en y = 18

Evaluering:

  1. 'n Deeltjie beweeg op so 'n manier dat dit na t sekondes s meter gegaan het, waar s = 5t + 15t 2 – t 3
  2. Vind die maksimum en minimum waarde van y op die kromme 4 –12x - 3x 2 .

Algemene Evaluering

Gebruik produkreël om die afgeleide van te vind

  1. y = x 2 (1 + x) ½
  2. y = √x (x 2 + 3x – 2) 2
  3. Vind die afgeleide van y =(7x 2 -5) 3
  4. Gebruik die voltooiing van die vierkantmetode en vind t as s=ut+ 1 by 2

                        2    

  1. As 3 'n wortel van die vergelyking is x 2 – kx +42=0 vind die waarde van k en die ander wortel van die vergelyking

LEESOPDRAG: NGM vir SS 3 Hoofstuk 10 bladsy 90 -101,

   

NAWEEKOPDRAG

DOEL

1.Differensieer die funksie 4x 4 + x 3 – 5 (a)4x 3 +3x 2 (b)16x 2 +3x 2 (c)16x 3 +3x 2 (d)16x 4 + 3x 2

2.Vind d 2 y/dx 2 van die funksie y = 3x 5 tov x. (a) 15x 3 (b) 45 x 4 (c) 60x 3 (d) 3x 5 (e) 12x 3

3.As f(x) = 3x 2 + 2/x vind f 1 (x) (a) 6x + 2 (b) 6x + 2/x 2 (c) 6x – 2/x 2 (d)6x -2

4.Vind die afgeleide van 2x 3 – 6x 2 (a) 6x 2 – 12x (b) 6x 2 – 12x (c) 2x 2 – 6x (d) 8x 2 – 3x

5.Vind die afgeleide van x 3 – 7x 2 + 15x (a) x 2 – 7x + 15 (b) 3x 2 – 14x + 15 (c) 3x 2 + 7x + 15 (d) 3x 2 – 7x + 15

TEORIE

  1. Onderskei met betrekking tot x. y 2 + x 2 – 3xy = 4
  2. Vind die afgeleide van 3x 3 (x 2 + 4) 2