Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 3

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSINGSTEKS

• Nuwe Algemene Wiskunde vir SS boek 3 deur JB Channon

• Noodsaaklike Wiskunde vir SS boek 3

• Wiskunde Eksamen Fokus

• Waec en Jamb vorige vrae

WEEK VIER

ONDERWERP: Differensiasie van algebraïese funksies: betekenis van differensiasie

• Differensiasie van algebraïese funksies: betekenis van differensiasie
• Differensiasie van eerste beginsel
• Standaardafgeleides van sommige basiese funksies.

Beskou die kromme waarvan die vergelyking gegee word deur y = f(x) Onthou dat m = y 2 – y 1 = f(x+x)-f(x)

x 2 - x 1 x

Soos punt B naby A beweeg, word dx kleiner en neig na nul.

Die beperkende waarde word geskryf op Lim f(x +x) – f(x) en word aangedui as x –> 0

                    dx

f l (x) word die afgeleide van f(x) en die gradiëntfunksie van die kromme genoem

Die proses om die afgeleide van f(x) te vind, word differensiasie genoem. Die rotasies wat algemeen gebruik word vir die afgeleide van 'n funksie is f 1 (x) gelees as f – priem van x, df/dx gelees as dee x van f

df/dx lees dee - f dee- x, dy/dx lees dee - y dee- x

As y = f(x) , hierdie dy/dx = f 1 (x) (dit word die differensiaalkoëffisiënt van y met betrekking tot x genoem.

Differensiasie van eerste beginsel: Die proses om die afgeleide van 'n funksie te vind uit die oorweging van die beperkende waarde word differensiasie van eerste beginsel genoem.

Voorbeeld 1

Vind uit die eerste beginsel, die afgeleide van y = x 2

Oplossing

    y = x 2

y + y = (x + x) 2

y + y = x 2 + 2xx + (x) 2

y = x 2 + 2xx+ (x) 2 - y    

y = x 2 + 2xx + (x) 2 - x 2

y = 2xx + (x) 2

y = (2x + x)x

y = 2x + x

x

Lim x = 0

dy = 2x

dx

           

Voorbeeld 2 :

Vind uit eerste beginsel, die afgeleide van 1/x

Oplossing

Laat y = 1

x

y + y = 1

x + x

y = 1 - j

x + x

y = 1 - 1

x + x x

y = x – (x + x)

(x +x)x

y = x - x - x

x 2 + xx

dy = -x

x 2 + x

y = -1

x x 2 + x

Lim x = 0

dy = -1

dx x 2

Evaluering: Vind uit die eerste beginsel, die afgeleides van y met betrekking tot x:

1. Y = 3x 3 2. Y = 7x 2 3. Y = 3x 2 – 5x

   

Reëls van Differensiasie: Laat     y = x n

y + dy = (x + dx) n

    = x n + nx n-1 dx + n(n -1) x n-2 (dx) 2 + … (dx) n

            2!

= x n + nx n-1 dx + n(n-1) x n-2 (dx) 2 + --- + (dx) n - x n

            2!

= nx n-1 dx + n (n – 1) x n–1 (dx) 2

            2!

dy/dx = n xn-1 + n (n –1) x n-1 dx

Lim dy/dx = nx n-1

dx = 0

    Vandaar; dy/dx = nx n-1 as y = x n

Voorbeeld 3 :    

Vind die afgeleide van die volgende met betrekking tot x: (a) x 7 (b) x ½ (c) 5x 2 – 3x (d) - 3x 2 (e) y = 2x 3 – 3x + 8

Oplossing

1. Laat y = x 7

    dy/dx = 7 x 7-1 = 7x 6

1. Laat y = x ½

    dy/dx = ½ x ½ -1 = ½ x – ½ = 1

2√x

1. Laat y = 5x 2 – 3x

dy/dx = 10x – 3

       

1. Laat y = - 3x 2

    dy/dx =2× - 3x 2-1 = - 6x

       

1. Laat y = 2x 3 – 3x + 8

    dy/dx= 3 x 2x 3-1 – 3 + 0

= 6x 2 – 3

Evaluering:

• As y=5x 4 , vind dy/dx 2. Gegewe dat y= 4x -1 vind y 1

Algemene Evaluering

1. Vind uit eerste beginsels die afgeleide van 4x 2 – 2 met betrekking tot x.
2. Vind die afgeleide van die volgende a.3x 3 – 7x 2 – 9x + 4 b. 2x3 c . 3/x
3. Gebruik idee van verskil van twee vierkante; vereenvoudig 243x 2 - 48y 2
4. Vou uit (2x -5)( 3x-4)
5. As die gradiënt van y=2x 2 -5 -12 is, vind die waarde van y.

Leesopdrag: NGM vir SS 3 Hoofstuk 10 bladsy 82 -88,

Naweekopdrag

Doel

1. Vind die afgeleide van 5x 3 (a) 10x 2 (b) 15x 2 (c) 10x (d) 15x 3
2. Vind dy/dx, as y = 1/x 3 (a) –3/x 4 (b) 3/x 4 (c) 4/x 3     (e) –4/x 3
3. Vind f 1 (x), as f(x) = x 3 (a) 3x (b) 3x 2     (c) ½ x 3     (d) 2x 3
4. Vind die afgeleide van 1/x(a) 1/x 2 (b) –1/x 2 (c) – x     (d) –x 2
5. As y = - 2/3 x 3 . Vind dy/dx (a) 4/3 x 2 (b) 2x 2 (c) – 2x 2 (d) –2x

Teorie

1. Vind uit die eerste beginsel, die afgeleide van y = x + 1/x
2. Vind die afgeleide van 2x 2 – 2/x 3