Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2

Blaai deur onderwerpe vir Senior Sekondêr 3 1ste, 2de en 3de Kwartaal, Alle Weke, Alle Vakke

  1. Tuis
  2. Lesnotas volgens weke en kwartaal
  3. Senior Sekondêr 3

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 3

DATUM:

KWARTAAL: 1ste KWARTAAL

VERWYSINGSTEKSTE:

  • Nuwe Algemene Wiskunde vir SS boek 3 deur JB Channon
  • Noodsaaklike Wiskunde vir SS boek 3
  • Wiskunde Eksamen Fokus
  • Waec en Jamb vorige vrae


WEEK NEGE

ONDERWERP: REGUITLYN-GRAFIKE

INHOUD

  • Gradiënt van 'n reguit lyn.
  • Gradiënt van 'n kromme.
  • Tekening van tangente na 'n kromme.

GRADIËNT VAN 'N REGUIT LYN

Die helling (of helling) van 'n reguit lyn is 'n maatstaf van die steilheid van die lyn.

Die gradiënt van 'n lyn kan positief of negatief wees.

Positiewe helling (opdraand)

Beskou lyn LM wat in die diagram hieronder getoon word. Die lyn skuins opwaarts na regs en dit maak 'n skerp hoek van met die positiewe x-as, so bruin is positief. Die gradiënt van die lyn kan gevind word deur enige twee gerieflike punte soos A en B op die lyn te kies. As jy van A na B beweeg, neem x toe ( ) en y neem ook toe ( ).

maw toename in x = horisontale afstand = AC

toename in y = vertikale afstand = BC

die gradiënt van 'n lyn word deur letter m voorgestel.

die gradiënt van 'n lyn LM word gegee deur:

m = toename in y van A na B toename in x van A na B = BC AC = 2 4 = 1 2

ook in ABC, tan = BC AC = 2 4 = 1 2

dit volg dat die gradiënt van lyn AB = tan . Wanneer 'n lyn opwaarts (opdraand) na regs helling, is die helling van die lyn positief.

Negatiewe helling (afdraand)

In die diagram hieronder hell lyn PQ afwaarts en dit maak 'n stomp hoek met positiewe x-as, so tan is negatief. Weereens, om die gradiënt van die lyn te vind, kies ons twee gerieflike punte soos D en F op die lyn. As jy van D na F beweeg, neem x toe ( ) en y verminder ( ).



maw toename in x = horisontale afstand = DE en afname in y = vertikale afstand = EF.

Die gradiënt, m van lyn PQ word gegee deur:

m = toename in y van D na F toename in x van D na F = EF DE = -3 4 = - 3 4

Ook die gradiënt van lyn PQ = bruin

Wanneer 'n lyn afwaarts na regs helling (dws afdraand) is die gradiënt negatief.

Byvoorbeeld, in die diagram hieronder gaan die helling 3 eenhede op vir elke 4 eenhede oor. Aangesien driehoeke PQT, QRU en RSW soortgelyk is,

Ons het: QT PT = RU QU = SW RW = 3 4

Dit beteken die gradiënt van die lyn word gegee deur:

m= QT PT of m= RU QU of m= SW RW

Waar die letter 'm' gradiënt verteenwoordig.

Bereken die gradiënt van 'n lyn

Die gradiënt van 'n reguit lyn kan uit enige twee punte op die lyn bereken word.

Laat die twee punte op lyn PQ A en B wees. as die koördinate van punt A (x 1 , y 1 ) en die koördinate is

Gradiënte van lyne en kurwes

van punt B is (x 2 , y 2 ), dan is in beweging van A na B die toename in x (of verandering in x) AC en die toename in y (of verandering in y) is CB, dws AC = x 2 – x 1 en CB = y 2 – y 1 ,

Dus, die gradiënt, m van die lyn PQ word gegee deur:

m = toename in y toename in x = verskil in y koördinaat verskil in x koördinaat

= CB AC = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Oefen

Bereken die gradiënt van die lyn wat die punte C(-2, -6) en D(3, 2) verbind en.

Oplossing

Metode 1

Stip die punte C(-2, -6) en D(3, 2).

Trek 'n reguit lyn om deur die punte te gaan.

Gradiënt = toename in y toename in x = ED CE = 8 5

Metode 2

Ons kan die gradiënt op die volgende 2 maniere bereken.

  1. Deur van C na D te beweeg

(x 1 , y 1 ) = (-2, -6) en (x 2 , y 2 ) = (3, 2)

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2-(-6) 3-(-2) = 2+6 3+2 = 8 5

  1. Deur van D na C te beweeg

(x 1, y 1 ) = (3, 2) en (x 2 , y 2 ) = (-2, -6)

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = -6-2 -2-3 = -8 -5 = 8 5

Let daarop dat die antwoord dieselfde is in obht gevalle, daarom maak dit nie saak watter punt ons die eerste of die tweede noem nie.

Voorbeeld

Vind die gradiënt van die lyn wat verbind (-4, 6) en (3, 0)

Oplossing

Laat m = gradiënt,

(x 1 , y 1 ) = (-4, 6) en (x 2 , y 2 ) = (3 , 0)

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 0-6 3-(-4) = -6 3+4 = -6 7 = - 6 7

Evaluering

Vind die gradiënte van die lyn wat die volgende pare punte verbind.

  1. (9,7) , (2,5)
  2. (2,5) , (4,5)
  3. (2,3) , (6,-5)

Teken die grafieke van reguit lyne

Voorbeeld

(a) Teken die grafiek van 3x + 2y = 8

(b) Vind die gradiënt van die lyn.

Oplossing



(a) Maak eers die onderwerp.

    3x + 2j = 8

    2j = 8 – 3x

    y = 8-3x 2

    Kies drie maklike waardes en maak dan 'n tabel van waardes soos hieronder getoon.

Wanneer x = 0,     y = 8-0 2 =4

Wanneer x = 2, y = 8-6 2 = 2 2 =1

Wanneer x = 4,     y = 8-12 2 = -4 2 = -2

x

0

2

4

y

4

1

-2

Die grafiek van 3x + 2y = 8 word hieronder getoon.

(b) Kies twee maklike punte soos P en Q op die lyn.

Gradiënt van PQ = toename in y toename in x = - RQ PR

-6 4 = - 3 2

Evaluering

Gebruik drie gerieflike punte, teken die grafiek van die volgende lineêre vergelykings en vind dan hul gradiënte.

  1. 2x-y-6=0 2.) 5y+4x=20 3.) 3x-2y=9

GRADIËNT VAN 'N KROMME

Om die gradiënt van 'n reguit lyn te vind is konstant op enige punt op die lyn. Die gradiënt van 'n kromme verander egter voortdurend soos ons langs die kromme beweeg. In die diagram hieronder is die gradiënt by P nie gelyk aan die gradiënt by S nie. om die gradiënt van 'n kromme te vind, trek 'n raaklyn aan die kromme, trek 'n raaklyn aan die kromme by die punt wat jy benodig om die gradiënt te vind. Byvoorbeeld, die gradiënt van kromme by punt P is dieselfde as die gradiënt van die raaklyn PQ. Ook die gradiënt van die kromme by S is dieselfde as die gradiënt van die raaklyn ST.

Die diagram hierbo verteenwoordig die grafiek van die funksie y =2x 2 + x – 5.

Die gradiënte by P en S kan soos volg gevind word:

Gradiënt by P = gradiënt van raaklyn PQ. Deur 'n geskikte reghoekige driehoek met skuinssy PQ te konstrueer, is die gradiënt Gradiënt = PR PQ = -7 1 = -7

Onthou dat die gradiënt negatief is omdat die raaklyn van links na regs afwaarts skuins.

Gradiënt by S = gradiënt van raaklyn ST.

Deur 'n geskikte reghoekige driehoek met skuinssy ST te konstrueer, is die gradiënt

Gradiënt = TU US = 10 2 = 5

Onthou dat die gradiënt positief is, want die raaklyn helling opwaarts van links na regs.

Let wel: Hierdie metode gee slegs benaderde antwoord. Hoe meer akkuraat jou grafieke is, hoe meer akkuraat sal jou antwoorde egter wees.

Evaluering

Teken die grafieke van die volgende funksies en gebruik die grafieke om die gradiënte by aangeduide punte te vind.

1) y= x 2 –x-2 by x= -1

2) y= x 2 -3x-4=0 by x = 4

ALGEMENE EVALUERING/ HERSIENINGSVRAE

  1. 'n Reguit lyn gaan deur die punte (3,k) en (-3,2k). As die gradiënt van die lyn -2/3 is, vind die waarde van k. Wat is die vergelykingslyn?
  2. Skets die volgende grafieke deur gebruik te maak van gradiënt-afsnit metode.
  3. a) y= 0,5x - 3 b) y= 5x c) y = x/4 - 3 d) 2y-10 = 2x
  4. Vind die gradiënte van die krommes by die punte wat aangedui word.
  5. a) y= 6x - x 2 by x= 3 b) x 2 – 6x + 5

NAWEEKOPDRAG

  1. Vind die gradiënt van die vergelyking van lyn 2y – 10 = 2x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
  2. Vind die gradiënt van die lyn wat (7,-2) en (-1,2) A. ½ B. – ½ C. 1/3 D. -1/3 verbind.
  3. Vind die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur (-3,-5) met gradiënt 2 gaan.
  4. y =3x-1 B. y=2x-1C. y=2x-1 D. y=3x+1

Gegewe dat 3y-6x +15=0, gebruik die inligting om vrae 4 en 5 te beantwoord.

  1. Vind die gradiënt van die lyn. A. 5 B. -5 C. 2 D. -2
  2. Vind die snypunt van die lyn. A. 5 B. -5 C. 2 D. -2

TEORIE

  1. Teken die grafiek van y= 2x-3 deur gerieflike punte en skaal te gebruik. Soek dus die gradiënt van die lyn by enige gerieflike punt.

2a) Kopieer en voltooi die volgende tabel van waardes vir die verband y= 2x 2 – 7x-3.

X

-2

1-

0

1

2

3

4

5

Y

19

-3

-9

  1. b) Gebruik 2cm tot 1eenheid op die x-as en 2cm tot 5eenhede op die y-as, teken die grafiek van y= 2x 2 -7x-3 vir -2 x≤5.
  2. c) Van jou grafiek, vind die:
  3. minimum waarde van y.
  4. die vergelyking van die simmetrielyn.

iii. die gradiënt van die kromme by x=1.

Leesopdrag

Nuwe Algemene Wiskunde vir SSS2, bladsye 190-192, oefening 16d.