VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 3

DATUM:

KWARTAAL: 1ste KWARTAAL

VERWYSINGSTEKSTE:

Nuwe Algemene Wiskunde vir SS boek 3 deur JB Channon
Noodsaaklike Wiskunde vir SS boek 3
Wiskunde Eksamen Fokus
Waec en Jamb vorige vrae

WEEK VIER

ONDERWERP: MEETKUNDIGE PROGRESSIE

INHOUD

Definisie van Meetkundige Progressie
Denotasies van Meetkundige progressie
Die nde kwartaal van 'n GP
Die som van Meetkundige reekse
Som van GP tot oneindig
Meetkundige gemiddelde

Definisie van G.P

Die ry 5, 10, 20, 40 het 'n eerste term van 5 en die gemeenskaplike verhouding

Tussen die term is 2 bv ( 10 / 5 of 40 / 2o = 2).

'n Ry waarin die terme óf toeneem óf afneem in 'n algemene verhouding, word 'n Meetkundige Progressie genoem

(G.P)

P: a, ar, ar 2 , ar 3 ………………

Denotasies in G.P

a = 1ste term

r = algemene verhouding

U n = nde term

S n = som

Die nde term van 'n G.P

Die n-de term = Un

Un = ar n-1

1 ste term = a

2 de term = axr =ar

3de term = axrxr = ar 2

4 de term = axrxrxr = ar 3

8de term = axrxrxrxrxrxrx r = ar 7

nth term = axrxrxrx ……….. ar n-1

Voorbeeld

Gegee die GP 5, 10, 20, 40. Vind sy (a) 9 de term (b) nth term

Oplossing

a = 5 r = 10/5 = 2

U 9 = ar n-1

U 9 = 5 (2) 9-1

= 5 (2) 8

= 5 x 256 = 1 280

(b) U n = ar n-1

= 5(2) n-1

Voorbeeld 2

Die 8ste kwartaal van 'n huisdokter is -7/32. Vind die algemene verhouding as die eerste term 28 is.

U 8 = -7/32 U n = ar n-1

-7/32 = 28 (r) 8-1

-7/32 = 28r 7

-7/32 x 1/28 =

- 7 / 32 x 1 / 28 = r 7

7 7

r = =

r = - 0.5

Evaluering

Die 6 de term van 'n huisdokter is 2000. Vind sy eerste term as sy algemene verhouding 10 is.
Vind die 7de term en die nde term van die progressie 27, 9 , 3, …

DIE SOM VAN 'N MEETKUNDIGE REEKS

a + ar + ar 2 + ar 3 + ………………. is n-1

verteenwoordig 'n algemene meetkundige reeks waar die terme bygevoeg word.

S = a + ar + ar 2 ………… ar n-1 vgl 1

Vermenigvuldig deur r

rs = ar + ar 2 + ar 3 ………. ar n ……… vgl 2

trek af 2 van 1 af

S – rs = a – ar n

S (1 – r) = a(1-r n )

1 – r 1-r

S.= a ( 1 - r n ) r < 1

1 - r

Vermenigvuldig deur met -1 of subs. vgl. 1 van bv 2

rs - s = ar n - a

S (r – 1) = a(r n – 1)

r – 1 r – 1

S = a(r n -1)

r -1 vir r > 1

Voorbeeld:

Vind die som van die reeks.

½ + ¼ + 1/8 + ………………………… tot by 6de kwartaal
1 + 3 + 9 + 27 + …………………. 729

Oplossing

a = ½

r = ½ (r = ¼ ÷ ½ = ½)

∴ r< 1

S = a (1-r n )

1 – r

S 6 = [ ½ (1 – (½) 6 ]

1 - ½

S 6 = ½ (1 – 1 / 64 )

S 6 = 1 – 1 = 64 – 1 = 63

64 64 64

a = 1, r = 3, n = ? U n = 729

U n = ar n-1

729 = 1 x 3 n-1 (3 n-1 = 3 n x 3 -1 )

729 = 3n

3 n = 3 x 729

3 n = 31 x 36

3 n = 3 7

∴ n = 7

S = a(r n -1)

r – 1

S = a(3 7 – 1) = 2187 - 1

3 – 1 2

2186 = 1093

Evaluering: Vind die som van die reeks 40, -4, 0.4 tot by die 7 de term.

SOM VAN GP TOT ONEINDIGHEID

Som van G. P tot oneindig is slegs moontlik waar r < 1 is.

Waar r > 1 is, is daar geen som tot oneindig nie.

Voorbeeld:

Vind die som van GP 1 + ½ + ¼ + ………………………… (a) tot 10 terme (b) tot 100 terme. Lei dus die som van die reeks (formule) af as dit 'n baie groot getal het. van term of oneindigheid.

(a) a = 1 r = ½

n = 10

S = a (1-r n )

1-r

S = 1(1-( 1 / 2 ) 10 ) = 1(1-0,0001)

1- ½ 1/2

2 (1 – 0,001)

2 – 0,002 = 1,998.

n = 100.

S = a (1 – r n )

1 - r

S = 1 (1-( 1 / 2 ) 100 ) = 1(1- ( 1 / 2 ) 10 ) 10

1 – ½ ½

1 (1-(0,001) 10

1 (1)

½ = 2

Daarom neig (1/2) 100 na 0 (oneindig).

Oor die algemeen,

S = a (1-r n ) = a(1-0) = a__

1-r 1-r 1 – r

∴ S ∞ = a__ = n → ∞

1 – r

Voorbeeld 2:

Vind die som van die reeks 45 + 30 + 20 + ……………… tot oneindig.

a = 45, r = 2 / 3 , n = oneindig

S∞ = a S = 45__

1 – r 1- 2 / 3

S∞ = 45 ÷ 1/3

45 x 3/1 _

= 135

Evaluering

Die som tot oneindigheid van 'n Meetkundige Reeks is 100. Vind die eerste term as die gemeenskaplike verhouding - 1/2 is .
Die 3 de en 6 de kwartaal van 'n GP is onderskeidelik 48 en 14 2 / 9 , skryf die eerste vier kwartaal van die GP neer
Die som van 'n GP is 100 vind sy eerste term as die algemene verhouding 0,8 is.

GEOMETRIESE GEMIDDELDE

As drie getalle soos x , y en z opeenvolgende terme van 'n GP is, sal hul gemeenskaplike verhouding wees

y = z

x y

y 2 = xz

y = xz

Die middelwaarde , y is die meetkundige gemiddelde (GM). Ons kan afsluit deur te sê dat die GM van twee getalle die positiewe vierkantswortel van hul produkte is.

Voorbeeld

Bereken die meetkundige gemiddelde van I. 3 en 27 II. 49 en 25

Oplossing

GM van 3 en 27 II. GM van 49 en 25

= √ 3 x 27 4

= √ 81 = 49 x 25

= 9 4

= 7 x 5

= 35 = 17 1/2

Voorbeeld

Die eerste drie terme van 'n GP is k + 1, 2k – 1, 3k + 1. Vind die moontlike waardes van die gemeenskaplike verhouding.

Oplossing

Die terme is k + 1, 2k – 1, 3k + 1

2k -1 = 3k + 1

k + 1 2k – 1

(2k-1)(2k-1) = (k+1)(3k+1)

4k 2 -2k-2k +1 = 3k 2 +k+3k + 1

4k 2 - 4k +1 = 3k 2 +4k + 1

4k 2 - 3k 2 - 4k - 4k + 1-1 = 0

k 2 -8k = 0

k(k-8) = 0

k = 0 of k - 8 = 0

k = 0 of 8

Die gemeenskaplike verhouding sal twee waardes hê as gevolg van die twee waardes van k

Wanneer k=0 wanneer k= 8

K+1 = 0+1 =1 k+1 = 8+1 = 9

2k- 1= 2x0 – 1 = -1 2k- 1 = 2x8 – 1 = 15

3k+ 1= 3x0+ 1 = 1 3k+1 = 3x8 +1 = 25

terme is 1 , -1 , 1 terme is 9,15,25

gemeenskaplike verhouding, r = -1/1 gemeenskaplike verhouding, r = 15/9

r = -1

EVALUERING

Die derde kwartaal van 'n huisdokter is 1/81. Bepaal die eerste term as die gemeenskaplike verhouding 1/3 is.

ALGEMENE EVALUERING/HERSIENINGSVRAAG

p - 6, 2p en 8p + 20 is drie opeenvolgende terme van 'n GP. Bepaal die waarde van (a) p (b) die gemeenskaplike verhouding
As 1 , x, 1 , y, … in GP is, vind die produk van x en y

16 4

3.Die derde term van 'n GP is 45 en die vyfde term 405.Vind die GP as die algemene verhouding r positief is.

4. Vind die 7de kwartaal en die nde kwartaal van die vordering 27,9,3,...

5.In 'n GP is die tweede en vierde terme onderskeidelik 0,04 en 1. Vind die (a) gemeenskaplike verhouding (b) eerste term

NAWEEKOPDRAG

In die 2 de en 4 de kwartaal van 'n GP is 8 en 32 onderskeidelik, wat is die som van die eerste vier terme. (a) 28 (b) 40 (c) 48 (d) 60
Die som van die eerste vyf terme van die GP 2, 6, 18 is (a) 484 (b) 243 (c) 242 (d) 130
Die 4 de kwartaal van 'n GP is -2/3 en sy eerste kwartaal is 18 wat die algemene verhouding is. (a) ½ (b ) 1/3

As die 2 de en 5 de term van 'n GP onderskeidelik -6 en 48 is, vind die som van die eerste vier terme: (a) -45 (b) -15 (c) 15 (d) 33
Vind die eerste term van die GP as sy algemene verhouding en som tot oneindig – 3 / 3 en onderskeidelik (a) 48 (b) 18 (c) 40 (d) -42

TEORIE

1.Die 3de kwartaal van 'n GP is 360 en die 6de kwartaal is 1215. Vind die

(i) Algemene verhouding (ii) Eerste kwartaal (iii) Som van die eerste vier terme

1b. As (3- x) + (6) + (7- 5x) 'n meetkundige reeks is, vind twee moontlike waardes vir

(i) x (ii) die gemeenskaplike verhouding, r (iii) die som van die GP

2.Die eerste term van 'n GP is 48. Vind die gemeenskaplike verhouding tussen sy terme as sy som tot oneindig 36 is.

Leesopdrag

Nuwe Algemene Wiskunde SSS2

Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2