Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 2

DATUM:

KWARTAAL: 3de KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS2 deur MF Macrae etal.
• Essential Mathematics SSS2 deur AJS Oluwasanmi.
• Eksamenfokus Wiskunde.

WEEK DRIE

ONDERWERP: LAERS EN AFSTANDE

• Laers En Afstande

• Hoogtehoeke en depressie

Hoogtehoek

Dit is die hoek wat gevorm word tussen die normale ooghoogte en die lyn waardeur die waarnemer 'n voorwerp hierbo sien.

A

Ө

C B

Hoek ACB = Ө = hoogtehoek.

Hoek van depressie: Dit is die hoek wat gevorm word tussen die ooghoogte van die waarnemer en die voorwerp daaronder wanneer die waarnemer bokant die voorwerp wat hy sien, is.

Hoek ABC = Ө = Hoek van depressie. B Ө

AC

Die hoogtehoek is afwisselend met die depressiehoek en probleme wat hoogtehoeke en depressie behels, kan opgelos word deur die basiese trigonometriese verhoudings te gebruik en in sommige gevalle kan die sinus- en cosinusreël toegepas word.

Sinusreël vir ∆ ABC; a = b = c

Sonde A Sonde B Sonde C

Cosinus-reël: a 2 = b 2 + c 2 – 2bc Cos A

b 2 = a 2 + c 2 – 2ac Cos B

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab Cos C

VOORBEELDE :

1. 'n Leer van 50 m lank rus teen 'n vertikale muur. As die leer 'n hoek van 65 0 met die grond maak, vind die afstand tussen die voet van die leer en die muur.

Oplossing : Q Leer = QR, Muur = QP

Afstand tussen die voet van die leer en die muur = PR

50m Cos 65 0 = PR

50

Kruisvermenigvuldiging

PR = 50 x Cos 65 0 = 50 x0,4226

PR = 21.13m

P 65 0 R

1. Die indrukkingshoek van 'n voorwerp op die grond vanaf die top van 'n toring 60m hoog is 55 0 . Vind die afstand tussen die voet van die toring en die voorwerp tot die naaste heelgetal.

Oplossing: A

55 0 Toring = AC, Voorwerp = A

Afstand tussen die voet van die toring en

    die voorwerp = BC

Tan 55 0 = AC , bruin 55 0 = 60

60m vC

Kruisvermenigvuldiging; BC x Tan 55 0 = 60

BC = 60/bruin 55 0

BC BC = 60/1.428 = 42.02m

BC = 42m (naaste heelgetal)

EVALUERING

Vanaf die bopunt van 'n gebou 10m hoog is die hoogtehoek van 'n klip wat op die horisontale grond lê 70 0 . Bereken korrek tot 1 desimale plek, die afstand van die klip vanaf die voet van die gebou en die afstand van die klip vanaf die bokant van die gebou.

VERDERE VOORBEELDE :

1. Die hoogtehoek van die bokant van 'n vertikale paal vanaf 'n hoogte 1.54m bo 'n horisontale grond is 40 0 . Die voet van die paal is op dieselfde horisontale grond en die waarnemingspunt is 20m van die paal af. Bereken korrek tot 3 beduidende syfers. (i) die hoogte van die paal (ii) die indrukhoek van die voet van die paal vanaf die punt van waarneming.

Oplossing: E

Pool = BE, AD = Punt bo die grond.

40 0

D C

1,54m

A     B

20m

1. BE = Hoogte van die paal = BC + CE

BC = AD = 1.54m, AB = CD = 20m (teenoorstaande en parallelle sye).

Om CE te verkry, gebruik driehoek CDE;

Tan 40 0 = CE/CD, Tan 40 0 = CE/20

Kruisvermenigvuldiging; CE = 20 x bruin 40 0 = 20 x 0,8391

CE = 16,782m

Daarom, Hoogte van die paal (BE) = 1.54 + 16.782 = 18.322m

= 18.3m (3 sig. fig.)

1. Indrukkingshoek van die voet van die paal vanaf punt D:

Deur ∆ BDC te gebruik, Tan Ө = 1.54/20

Ө = bruin -1 (0,077) = 4,41 0

1. 'n Seun neem waar dat die hoogtehoek van die top van 'n toring 32 0 is . Hy stap dan 8m na die toring en ontdek dan dat die hoogtehoek 43 0 is . Vind die hoogte van die toring tot die naaste meter.

Oplossing:

A

32 0 43 0

D 8m C x B

Hoogte van die toring is AB, met ∆ACB, Tan 43 0 = AB/x

AB = x tan 43 0 …………………………vergelyk 1

Van ∆ ADB, Tan 32 0 = AB/(8 + x)

AB = (8 + x) tan 32 0 …………………………vergelyk 2

Stel die twee vergelykings gelyk: x tan 43 0 = (8 + x) tan 32 0

x bruin 43 0 = 8 bruin 32 0 + x bruin 32 0

x tan 43 0 – x tan 32 0 = 8tan 32 0

x(bruin 43 0 – bruin 32 0 ) = 8 bruin 32 0

x = 8 taan 32 0

bruin 43 0 – bruin 32 0

x = 8 x 0,6249 = 4,9992

0,9325 – 0,6249 0,3076

x = 16.252m

Hoogte van die toring = AB = x bruin 43 0 = 16,252 x 0,9325 = 15,15499m

Hoogte van die toring = 15.2m

EVALUERING

Die voete van twee vertikale paal van hoogte 3m en 7m is in lyn met 'n punt P op die grond, die kleiner paal is tussen die hoër paal en P en op 'n afstand van 20m vanaf P. Die hoogtehoek van die bokant (T) ) van die hoër paal vanaf die bokant (R) van die kleiner paal is 30 0 . Bereken:

1. Afstand RT (b) Afstand van die voet van die hoër paal vanaf P, korrek tot 3 betekenisvolle syfers.
2. Hoogtehoek van T vanaf P, korrek tot een desimale plek.

LAAG EN AFSTANDE

Laers kan gedefinieer word as die hoekverhoudings tussen twee of meer plekke. Laers word op twee maniere gespesifiseer:

Kardinale punte: Dit word gespesifiseer met verwysing na die noorde en suide. Bv. N45 0 E, S60 0 W

Voorbeeld

Neem O as die beginpunt.

NOP = 60 0 is die peiling N60 0 E

SOQ= S47 0 W

Driesyfernotasie : Laing word ook in driesyfernotasie gespesifiseer. Bv 060 0 , 078 0 ,135 0 ,225 0 ens

Voorbeeld 1. Dui die volgende peiling op die kardinale punt aan (a) 080 0 (b) 210 0

Oplossing

(a) 080 0 , (b) 210 0

2. Skryf elk van die volgende in driesyfernotasie. (a) S 70 0 E (b) N40 0 W

Oplossing:

(a)S 70 0 E

Dit is gelykstaande aan 110 0

(b) N 40 0 W

Dit is gelykstaande aan 320 0

Evaluering

Vind die ekwivalent van die volgende in driesyfernotasie. 1. S 75 0 W 2. N 35 0 E 3.S 30 0 E 4.N62 0 W

Dra van een punt van 'n ander ;

Dit is moontlik om die peiling van een punt of ligging vanaf 'n ander punt te bepaal, indien die beginpunt bekend is.

Voorbeelde

1.Vind die peiling van A vanaf B as B vanaf A 140 0 is .

Oplossing;

A van B = ? B vanaf A = 140 0

A vanaf B =270 0 + 50 0 =320 0

2.As die peiling van P vanaf Q 075 0 is , vind die peiling van Q vanaf P.

Oplossing;

P vanaf Q = 075 0

R vanaf P = 180 + 75

= 255 0

Evaluering : Vind die peiling van X vanaf Y, as Y vanaf X 210 0 is .

Die Sinus-reël en Cosinus-reël is die basiese reël wat gebruik word om laerverwante probleme op te los.

Sinusreël; Sonde A = Sonde B = Sonde C of a = b = c

a b c Sonde A Sonde B Sonde C

Kosinus reël; c 2 = a 2 + b 2 – 2abCosC

a 2 = b 2 + c 2 – 2bcCosA

b 2 = a 2 + c 2 – 2acCosB

Voorbeelde

1. 'n Vlieg beweeg vanaf 'n punt U op 'n peiling van 060 0 , na 'n punt V 20m weg. Dit beweeg dan vanaf die punt V op 'n peiling van 130 0 , na 'n punt W. As die punt W reg oos van U is. Vind die afstand van die punt V vanaf W en U vanaf W.

Oplossing

U + V + W = 180 0 (som van hoeke in 'n ∆)

W = 180 0 – 30 0 – 110 0 , W = 40 0

Om die afstand V vanaf W te vind deur sinusreël te gebruik; Sonde U = Sonde W

u w

sonde 30 0 = sonde 40 0

u 20, u = 20 sin 30 0

sonde 40 0

u = 15.56mafstand V vanaf W = 15.6m (3 sf)

Afstand u van w; sonde U = sonde V

jy v

sonde 30 = sonde 110 0

15.6 v

v = 15,6 x sin 110 0 v = 29,32

sonde 30

dus, afstand van u vanaf w = 29.3m (3 sf).

2. 'n Dorpie R is 10km vanaf 'n punt P op 'n peiling 025 0 vanaf P. 'n Ander dorpie A is 6km vanaf P op 'n peiling 162 0 . Bereken (a) afstand van R van A (b) die peiling van R vanaf A.

Oplossing:

   

(a) Afstand R vanaf A, met behulp van cosinusreël: p 2 = q 2 + r 2 – 2qr Cos P

P 2 = 10 2 + 6 2 – 2(10 x 6) Cos 137 0

P 2 = 100 + 36 – (120) x( -0,7314)

P 2 = 136 + 87,768

P = √223.768, p = 14.96km

Afstand R vanaf Q = 15km ongeveer.

(b) Bearing van R vanaf Q, Laat die peiling x wees, om x te vind, vind A eerste

Sonde Q = Sonde P

'n bl

Sonde A = Sonde 137 0

10 14,96    

Sin Q = 10 x Sin137 0

14,96

Q = sin -1 0,4559, Q = 27,1 0

Maar, Q = 18 + x

27.10=18+x

x=27.10 – 18=09.1 0

Die peiling van R vanaf Q is 009 0.

Evaluering

Stad A is 300 km reg oos van stad B. Stad C is 200 km op 'n peiling van 1230 vanaf stad B. Hoe ver is dit van C na A?

Algemene evaluering :

1)Vind die ooreenstemmende peiling van die volgende: (a)N64 0 W (b)064 0 (c)S42 0 E (d) 234 0

2)As die peiling van X vanaf Y N64 0 W is . Vind die peiling van Y vanaf X.

3) 'n Boot vaar 6km vanaf 'n hawe X op 'n peiling van 065 0 en daarna 13km op 'n peiling van 136 0 . Wat is die afstand en peiling van die boot vanaf X.

4. Vind die hoogtehoek tot die naaste graad van die top van 'n kerktoring 180m hoog vanaf 'n punt op die grond 75m vanaf sy voet.

Hersieningsvrae

1 Vanaf 'n plek 400m noord van X, stap 'n student ooswaarts na 'n plek Y wat 800m van X is. Wat is die rigting van X vanaf Y

2 In 'n sirkel met radius 18cm vorm twee radiusse 'n hoek van 150 0 in die middel vanaf punt X en Y op die omtrek. Vind korrek tot drie beduidende figuur

(a) die lengte van die akkoord XY

(b) die lengte van die hoofboog

(c) die oppervlakte van die minderjarige segment

Leesopdrag

Essential Mathematics SSS2, bladsye 195-197, nos 1-10.

Naweekopdrag

Doelwitte

1. Wat is die ekwivalent van S70 0 E in driesyfernotasie? A. 110 0 B. 070 0 C.120 0 D.100 0
2. As die peiling van P vanaf R 065 0 is , wat is R vanaf P? A. 230 0 B.245 0 C. 120 0 D 025 0
3. Druk die ware peiling 210 0 uit as 'n kompaspeiling. A S30 0 W B S60 0 W C.N30 0 W D.S60 0 E
4. Dorp Q is op 'n peiling 210 0 vanaf dorp P, dorp R is op 'n peiling 150 0 vanaf dorp P en R is oos van Q. Die afstand tussen R en P is 10 km. Vind die afstand tussen R en QA 10km B. 20km C.30km D. 40km
5. Wat is die peiling van M vanaf N, as die peiling van N vanaf M 315 0 is ? A.065 0 B. 015 0 C. 045 0 D. 025 0

Teorie

1. P, Q en R is punte in dieselfde horisontale vlak. Die peiling van Q vanaf P is 150 0 en die peiling van R vanaf Q is 060 0 . As |PQ| = 5m en |QR| = 3m. Vind die peiling van R vanaf P korrek tot die naaste graad.

2.Die hoogtehoeke van die boonste T, van 'n toring, 25m hoog, word waargeneem vanaf punt A aan die bokant van 'n gebou as 38 0 en vanaf punt B aan die onderkant van die gebou as 65.4 0 . As die toring en die gebou op dieselfde horisontale vlak is, bereken (a) BT (B) die hoogte van die gebou. Gee jou antwoorde korrek tot 3 sf