Blaai deur onderwerpe vir Senior Sekondêr 2 1ste, 2de en 3de Kwartaal, Alle Weke, Alle Vakke
VAK: WISKUNDE
KLAS: SS 2
DATUM:
KWARTAAL: 3de KWARTAAL
VERWYSINGSBOEKE
ONDERWERP: Kosinus- en sinusreël met betrekking tot driehoek
Inhoud
-Sinusreël vir akute en stomphoekige driehoek.
- Toepassing van sinusreël op driehoek.
-Cosinusreël vir akute en stomphoekige driehoek.
- Toepassing van Cosinus-reël.
Sinusreël vir akute en stomphoekige driehoek.
Oorweging word gegee aan ander driehoeke as 'n reghoekige driehoek. Die hoeke van enige driehoek word met hoofletters aangedui soos; A, B, C, terwyl die sye deur klein letters voorgestel word; a, b, c, onderskeidelik.
A
c b
B en C
Akute Driehoek: Dit is 'n tipe driehoek waarin die hoeke minder as 90 0 is .
Stompe Driehoek: Is 'n tipe driehoek waarin een van die hoeke meer as 90 0 maar minder as 180 0 is .
Deduktiewe bewys van sinusreël
Die sinusreël is dieselfde vir skerp en stomphoekige driehoek.
Gegee: Enige driehoek ABC (skuthoekige of stomphoekige driehoek).
A
c b
B en C
Om te bewys: a = b = c
Sonde A SondeB Sonde C
Konstruksie: Teken 'n loodregte A op BC (vervaardig, indien nodig)
Bewys:
Sonde B = h …………………………………………(1)
c
In fig. 7.10 a)
. Sin C = h …………………………………………..(2)
b
In fig.7.10 b)
Sin(180 0 - C ) = h
b
Dus, Sin C = h [sin(180 – Ɵ ) = sin Ɵ] ……………(2)
b
Vanaf (1) h = c SinB
Van(2) h = b Sin C
Dus, cSinB=bSinC
b = c
SinB SinC
Voorbeeld
In driehoek ABC, A= 38 0 , B = 27 0 , en b = 17 cm. vind a en c.
Oplossing;
Die gebruik van sinusreël; Sonde A = Sonde B
'n b
A
sonde 38 0 = sonde 27 0 38
'n 17
a = 17 sin 38 0
sonde 27 0
a = 23cm C B
Om te vind c; Hoek C moet bekend wees; A + B + C = 180 0
C = 180 0 – 38 0 – 27 0 , C = 115 0
Sonde B = Sonde C
b c
sin 27 0 = sin 115 0 , c = 17 x sin 115 0
17 c sonde 27 0
c= ongeveer 33.9, c = 34cm.
NB: In enige driehoek stem die langste sy ooreen met die grootste hoek terwyl die kortste sy met die kleinste hoek ooreenstem.
Evaluering : 1. Los die ∆ volledig op; A = 39 0 , a = 8,2m en b = 5,6m
2.Bereken die waardes van hoeke P en R van ∆ PQR, waar q = 14.35cm, p = 7.82cm en Q = 115.6 0
Deduktiewe Bewys van Cosinus-reël
Die kosinusreël is ook dieselfde vir die skerp en stomphoekige driehoek. A
Gegee: enige ABC
(a) A
(b)c
bh
c b
h
B N
B a C x
byl N x C a+x
a
Om te bewys: c 2 = a 2 + b 2 – 2abCos C
Konstruksie: Teken 'n loodlyn van A na B (vervaardig indien nodig).
Bewys: Gebruik die skerp driehoek; die gebruik van die stomp driehoek;
c 2 = (ax) 2 + h 2 c 2 = (a +x) 2 + h 2
c2 = a 2 -2aks + x 2 + h 2 c 2 =a 2 +2aks+x 2 +h 2
Van ∆ ACN; b 2 = x 2 + h 2 , en Cos C = x / b Van ACN, x 2 + h 2 = b 2
x= b Cos C =a 2 +2ax+b 2
c 2 = a 2 + b 2 – 2ax Van ACN,x/b=CosACN
x =bCosC =Cos(180 0 -C)
= -Cos C ,x= -bCos C
c 2 = a 2 + b 2 – 2abCosC c 2 = a 2 + b 2 +2a(-bCos C)
c 2 = a 2 + b 2 – 2abCos C
Net so vir ander kante en hoeke. Daarom kan die cosinusreël soos volg geskryf word:
c 2 = a 2 + b 2 – 2abCosC OF Cos C = a 2 + b 2 – c 2
a 2 = b 2 + c 2 – 2bcCosA 2ab
b 2 = a 2 + c 2 – 2acCosB Cos A = b 2 + c 2 – a 2
2bc
Cos B = a 2 + c 2 – b 2
2ac
Voorwaardes wat nodig is vir gebruik : Die reël word gebruik om skerp en stomphoekige driehoeke op te los waarin twee sye en ingeslote hoeke gegee word.
Voorbeeld ; Gegee dat A = 120 0 , b = 7cm, c= 12cm. Los die driehoek heeltemal op.
Oplossing
Gebruik kosinusreël; a 2 = b 2 + c 2 – 2bcCosA
a 2 = 7 2 + 12 2 – 2(7×12)Cos 120 0
a 2 = 49 + 144 – 168 (-0,5)
a 2 = 193 +84
a =√277
a = 16.6cm.
Om hoek B te vind, Cos B = a 2 + c 2 – b 2
2ac
Kos B = 16,6 2 + 12 2 - 7 2
2 x 16,6 x 12
Kos B = 275,56 + 144 – 49
398,4
Cos B = 0,9301, B = cos -1 0,9301, B = 21,5 0 .
Om < C te vind; < A + < B + <C = 180 0 ,
C = 180 0 – 120 0 – 21,5 0 , C = 38,5 0 .
Dus, a = 16,6 cm, B = 21,5 0 en C = 38,5 0 .
NB: 1. In enige driehoek stem die langste sy ooreen met die grootste hoek en die kortste sy met die kleinste hoek .
Evaluering
1.Bereken die hoeke van die ∆s ABC waarvan die sye in sentimeter gegee word.Gee die finale antwoorde tot die naaste 0.1 0
a=5.2, b = 6.5cm ,c = 7.8
Algemene Evaluering
1.Bereken die kleinste hoek in die driehoek PQR sodat p = 7.92m, q= 15.9m en c= 8.44m.
2.Bereken die lengte van die sy oorkant die gegewe hoek in ∆ XYZ gegee dat x =13.1m, y = 24.2m en Z = 47.80.
Hersieningsvrae
1 Gegee dat sonde Ɵ =5/13 vir 0<Ɵ<90 0 vind
a sinƟ -cosƟ
b cos Ɵ -3
tanƟ
2 As cos 3y=sin 2y vind y vir 0<y<90 0
Leesopdrag
Essensiële Wiskunde SSS2, bladsy 180-181, oefening 13.2, nos 11-15;oefening 13.4, bladsy 185, nos 1a-1f.
Naweekopdrag
Doelwitte
Gebruik die inligting hieronder om vraag 1 – 3 te beantwoord. In ∆ABC is a = 7.8m, b= 8.5m en B = 57.7 0 . korrekte antwoorde tot 1 dp
Teorie
1. 'n Driehoek het sye van lengte 7cm, 8cm, 9cm. Druk die cosinus van die kleinste hoek van die driehoek uit as 'n breuk in sy laagste terme.
2. Los die driehoek heeltemal in die ∆ABC op sodat B = 34.5 0 , c = 2.8cm, ‽
a = 5,1 cm.