Blaai deur onderwerpe vir Senior Sekondêr 2 1ste, 2de en 3de Kwartaal, Alle Weke, Alle Vakke
VAK: WISKUNDE
KLAS: SS 2
DATUM:
KWARTAAL: 2de KWARTAAL
VERWYSINGSBOEKE
ONDERWERP: DEDUKTIEWE BEWYS VAN SIRKELMEETKUNDE
INHOUD
-Definisie van eienskappe van 'n sirkel.
-Probleme oor lengte van boog en akkoorde.
-Omtrek en oppervlakte van sektor en segmente van 'n sirkel.
Definisie van eienskappe van 'n sirkel radius
Dele (eienskappe) van 'n sirkel is:
4 Radius
1.Omtrek :Dit is die geboë buitenste grens van 'n sirkel.
2.Boog: Boog is 'n deel/gedeelte van die omtrek van 'n sirkel
3.Major en Minor Arc: Die koord wat nie 'n deursnee is nie, verdeel die omtrek
in twee boog van verskilgroottes: 'n hoof- en 'n klein boog.
4. Radius: dit is enige reguit lyn wat die middelpunt met die omtrek van 'n sirkel verbind.
5.Diameter: 'n Diameter is 'n koord wat deur die middelpunt gaan en die sirkel in 3 gelyke dele verdeel.
6.Koord: 'n Koord van 'n sirkel is 'n lynstuk wat by die middelpunt aansluit, is 'n lyn sy
omtrek.
7.Sektor: Dit is die gebied tussen twee radiusse en die omtrek.
8.Segment: dit is die gebied tussen 'n akkoord en die omtrek.
9. Majeur en mineur Segment: Die akkoord verdeel ook die sirkel in twee segmente van verskilgroottes: majeur en mineur segmente
Evaluering
Teken 'n sirkel, vind en benoem al sy eienskappe daarin
Arcs and Chord
Omtrek van 'n sirkel (Omtrek) = 2π r
Lengte van boog = Ɵ x 2πr
360 0
Omtrek van 'n sektor = 2r + Ɵ × 2πr
360 0
Waar π= 22/7
Voorbeeld 1
'n Koord van 'n sirkel is 12 cm lank die radius r van die sirkel is 10 cm bereken die afstand van die middelpunt van die koord na die middelpunt.
O is die middelpunt
AB = 12cm
AO = radius = 10cm
M = middelpunt van AB
∆ AMO
|OA| 2 = |OM| 2 + |AM| 2 (Pythagoras-stelling)
10 2 = OM| 2 + 6 2
|OM| 2 = 10 2 - 6 2
|OM| 2 = 100 -36
|OM| 2 = 64
|OM = 64 = 8cm
| OM| = 8 cm
Die middelpunt van die koord is 8 cm vanaf die middel van die sirkel
Voorbeeld 2
'n Koord met 'n lengte van 24 cm is 13 cm vanaf die middel. . Bereken die radius van die sirkelradius van die sirkel.
Oplossing
∆ OAK is 'n reghoekige driehoek
|OA| 2 = AC 2 + C0 2
|OA| 2 = 12 2 + 13 2
|OA| 2 = 144 + 169
|OA| 2 = 313
|OA|= 313 = 17.69
OA = 17.7cm
Voorbeeld 3
Bereken die lengte van die klein boog /AB/ in voorbeeld 2 hierbo
Lengte van boog = Ɵ × 2πr
360 0
Π= 22/7
Ɵ = <AOB = <AOC + <COB
Ɵ=<AOC = < COB
Gegee:
Tan <AOC = Opp= 12
Adj 13
Tan< AOC = 0,9231
Tan -1 (0,9231) =< AOC = 42,7 0
<AOC = 2 (42,7 0 )
<AOB = 85.4 0
Lengte van boog AB = Ɵ x 2πr
360
= 85,4 0 × 2 × 22 × 17,69 cm
360 0 7
=26.38cm
Evaluering
1) 'n Koord van 'n sirkel is 9 cm lank as sy afstand vanaf die middel van die sirkel 5 cm is, bereken.
i.Die radius
ii.Die lengte van die klein boog.
2) Watter hoek span 'n boog van 5,5 cm lank in die middel van 'n sirkel deursnee
7 cm.
Omtrek en oppervlakte van sektor en segmente van 'n sirkel
Oppervlakte van sektor = Ɵ × πr 2
360
Oppervlakte van segment = Oppervlakte van sektor – Oppervlakte van die ingeslote driehoek.
Omtrek van sektor = 2r + lengte van boog
Omtrek van segment = lengte van koord + lengte van boog.
Voorbeeld
Die boog van 'n sirkel radius 7 cm onderspan 'n hoek van 135 0 in die middel.
Bereken:
i die gebied van die sektor
ii Die omtrek van die sektor
Oppervlakte = Ɵ x π r 2
360 0
= 57. 75 cm
Omtrek = 2r + lengte van boog
Maar lengte van boog = Ɵ × 2πr
360 0
= 135 0 × 2 × 22 × 7
360 0 7 =16. 5 cm
Omtrek = 2(7) + 16,5
= 14cm + 16.5cm
=30.5cm
Evaluering
Die hoek van 'n sektor van 'n sirkelradius 17.5cm is 60 0 . AB is 'n akkoord. Vind
Stelling en bewyse met betrekking tot hoeke in 'n vlak.
Stelling I.
Stelling: 'n Reguit lyn getrek vanaf die middel van 'n sirkel om 'n koord te halveer, wat nie deursnee is nie, is reghoekig met die koord.
Gegee : 'n sirkel met middelpunt O en Akkoord AB.
OM Sodanig dat AM = MB
Om te bewys : < AMO = <BMO = 90 0
Konstruksie : Sluit aan by OA en AB
Bewys :
OA = OB (radii)
AM = MB (gegewe)S
OM = OM
AMO= BMO (SSS)
<AMO = < BMO
maar <AMO + <BMO = 180 0
<AMO = <BMO = 180 0 = 90 0
2
Voorbeeld I : Die radius van 'n sirkel is 10 cm en die lengte van 'n koord van die sirkel is 16 cm. Bereken die afstand van die koord vanaf die middel van die sirkel.
Aangesien ( COA 'n reghoekige driehoek is, gebruik Pythagoras-stelling
Oplossing
x 2 = 10 2 – 8 2
x 2 = 100 – 64
x 2 = 36
x = √ 36 = 6cm
Voorbeeld 2 :
Die afstand van 'n koord van 'n sirkel met 'n radius van 5 cm vanaf die middel van die sirkel is 4 cm. Bereken die afstand van die lengte van die koord.
Oplossing
Akkoord AB = |AC| + |CB|
| AC| = | CB|
< AOC is 'n reghoekige driehoek O
Gebruik Pythagoras: 5 cm
|AC| 2 = 5 2 - 4 2
= 25 – 16 = 9 A C B
|AC| 2 = 9 cm
|AC| = √9 = 3cm
|AB| = 3 + 3 = 6cm
Lengte van koord AB = 6cm
Evaluering
Twee parallelle akkoorde lê aan die teenoorgestelde kant van die middelpunt van 'n sirkel met 'n radius van 13 cm, hul lengtes is 10 cm en 24 cm, wat is die afstand tussen die akkoorde?
Stelling 2
Die hoek wat 'n boog van 'n sirkel by die middelpunt onderspan, is twee keer dié wat dit by enige punt op die oorblywende deel van die omtrek onderspan.
Gegee : 'n sirkel APB met middelpunt O
Om te bewys :< AOB = 2 x <APB
Konstruksie : Sluit aan by PO en produseer na enige punt Q
Bewys:
OA = OP ( radiusse )
x 1 = x 2 (basishoek van gelykbenige driehoek)
<AOQ = x 1 + x 2 (buitehoek van ∆ AOP)
<AOQ = 2x 2 (x 1 = x 2 )
Net so, <BOQ = 2y 2
In fig.8.20 (a) <AOB =<AOQ + <BOQ
= 2x 2 + 2y 2
= 2(x 2 + y 2 )
Maar, <APB = x 2 + y 2
<AOB = 2x< APB .
Voorbeelde:
1.Vind die waarde van die letterhoek.
Oplossing
q = 2 × 41 0 (hoek by die middel= 2 × hoek by omtrek)
q= 84 0
2.Vind die letterhoeke
x = 2 x 119 0 = 238 0 (hoek by middel = 2x hoek by omtrek)
y = 360 0 – x (hoek by 'n punt)
y = 360 0 – 238 0 = 122 0
z = y = 122 0 = 61 0 (hoek by middel = 2 x hoek by omtrek)
2 2
(x = 238 0
y = 122 0
z = 61 0
Evaluering
1.Vind die letterhoeke in die diagramme hieronder
(a) (b)
Stellings en bewyse wat verband hou met hoeke op dieselfde segmente.
Hoek in dieselfde segmente
Stelling: Hoeke in dieselfde segment van 'n sirkel is gelyk.
V
P
O B
A
Gegee: P en Q is enige punte op die hoofboog van sirkel APQB.
Om te bewys: APB = AQB
Konstruksie: Verbind A en B tot O, die middelpunt van die sirkel.
Bewys: <AOB = 2x (2x hoek by omtrekhoek by middel)
<AOB = 2x 2 (dieselfde rede)
2x 1 = 2x 2 = <AOB
x 1 = x 2 = ½ (AOB)
APB = x 1
AQB = x 2
<APB =< AQB
Aangesien P en Q enige punte op die hoofboog is, is alle hoeke in die hoofsegment gelyk aan mekaar. Die stelling geld ook vir hoeke in die klein segmente, dws
a = b = c
Voorbeeld
a = b = 40 0 (hoek in dieselfde segmente)
c = 32 0 (hoek in dieselfde segment)
Evaluering
Vind die letterhoeke.
Stelling en bewys :
(Die hoek in 'n halfsirkel is 'n regte hoek)
Stelling: Die hoek in 'n halfsirkel is 'n regte hoek .
Gegee : AB is 'n deursnee op 'n sirkelmiddelpunt O. X is enige punt op die omtrek op die sirkel.
Om te bewys : <AXB = 90 0
Bewys : AOB = 2 x <AXB (hoek by middel = 2x hoek by omtrek)
Maar < AOB = 180 0 (hoek op 'n reguit lyn)
180 = 2 (AXB)
180 = AXB
2
<AX B = 90 0 .
Voorbeeld: in die figuur hieronder: PQ is 'n deursnee van 'n sirkel PMQN, middelpunt O as <PQM = 63 0 , vind QNM.
In ∆ PQM
<PMQ = 90 0 (hoek in 'n halfsirkel)
<QPM = 180 0 – (90 0 + 65 0 ) [som van hoek in 'n ∆ ]
<QPM = 180 0 – 153 0 = 27 0
<QPM = 270
<QNM =< QPM = 27 0 (hoek in dieselfde segment)
Voorbeeld 2 :
Vind i en j.
<PQR = 90 0 (hoek in 'n halfsirkel)
i = 65 0 (hoek op dieselfde segment met PRS)
j = 90 0 – 65 0 ( hoek in 'n halfsirkel)
j = 25 0 .
Evaluering
1.In die fig. O is die middelpunt van die sirkel,BOC is 'n deursnee en <ADC=37 0 ,wat is <ACB?
ALGEMENE EVALUERING/HERSIENINGSVRAE
Vind die waarde van die letterhoeke
LEESOPDRAG
Noodsaaklike Wiskunde vir SSS2, bladsy 135-136, nommers 1-5.
NAWEEKOPDRAG :
Doelstelling Vind die letterhoeke
1 (a) 50 0 (b) 40 0 (c) 90 0 (d) 100 0
3.(a) 55 0 (b) 110 0 (c) 165 0 (d) 60 0
4.Twee parallelle akkoorde lê aan teenoorgestelde kante van die middel van 'n sirkel met 'n radius van 13 cm. Hulle lengtes is 10 cm en 24 cm. Wat is die afstand tussen die akkoorde?
(a)15cm (b)16cm (C)17cm (d)18cm
5.Die afstand van 'n koord van 'n sirkel, met radius 5cm vanaf die middel van die sirkel is 4cm, bereken die lengte van die koord. (a) 6cm (b) 5cm (c) 4cm (d) 7cm
Teorie
1.Vind w, x, y, z.
2.Daar is twee akkoorde AB en CD in 'n sirkel. AB=10cm, CD=8cm en die radius van die sirkel is 12cm.Wat is die afstand van elke koord vanaf die middel van die sirkel?