Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 2

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS2 deur MF Macraeetal.
• Essential Mathematics SSS2 deur AJS Oluwasanmi.

WEEK SEWE

ONDERWERP: LOGICA

INHOUD

- Betekenis van eenvoudige en saamgestelde stellings.

- Logiese bewerkings en die waarheidstabelle.

-Voorwaardelike verklarings en indirekte bewyse.

EENVOUDIGE EN SAAMGESTELDE VOORSTELLINGE

'n Voorsetsel is 'n stelling of 'n sin wat óf waar óf onwaar is, maar nie albei nie. Ons sal hoofletters van Engelse alfabette soos A, B, C, D, P, Q, R, S, … gebruik om vir eenvoudige stellings of voorsetsels te staan. 'n Eenvoudige stelling of stelling is 'n stelling wat geen verbindings bevat nie. Met ander woorde 'n proposisie word as eenvoudig beskou as dit nie in sub-proposisies opgebreek kan word nie. Aan die ander kant bestaan 'n saamgestelde proposisie uit twee of meer proposisies wat deur die verbindings verbind word. Hierdie verbindings is en, of, as …dan, as en slegs as. Hulle word ook logiese operateurs genoem. Die tabel hieronder toon die logika-operateurs en hul simbole.

Figuur 1

Logica Operator	Simbool
En	⋀
of	⋁
as … dan
as en slegs as
Nie	~

1. Die stelling ~ P staan bekend as die ontkenning van P. dus beteken ~ P nie P nie of 'dit is onwaar dat P...' of 'dit is nie waar dat P...'
2. As P en Q twee stellings (of stellings) is, dan:

1. Die stelling P ⋀ Q word die voegwoord van P en Q genoem. P ⋀ Q beteken dus P en Q.
2. Die stelling P ⋁ Q word die disjunksie van P en Q genoem. P ⋁ Q beteken dus óf P óf Q óf beide P en Q. let op dat die inklusiewe of gebruik word.

1. Die stelling P Q word die voorwaardelike van P en Q genoem. 'n voorwaarde staan ook bekend as implikasie P Q beteken as P dan impliseer Q of P Q.
2. Die stelling P Q word die tweevoorwaardelike van P en Q genoem, waar die simbool beteken as en slegs as (of kortliks iff). Dus P Q beteken P Q en Q P.

Die Waarheidstabelle

Die waarheid of valsheid van 'n stelling is die waarheidswaarde daarvan, dws. 'n Proposisie wat waar is, het 'n waarheidswaarde T en 'n proposisie wat onwaar is, het 'n waarheidswaarde F. die waarheidstabelle vir die logiese operatore word hieronder gegee.

Figuur 2

P	~ P
T	F
F	T

As P waar is (T), dan is ~ P onwaar en as P onwaar is, dan is ~ P waar.

Onthou dat ander simbole wat in plaas van ~ gebruik word , P' of P of ~ P is.

Figuur 3     figuur 4    

P	V	P ⋀ Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F
P	V	PQ ⋁
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

P ⋀ Q is waar wanneer beide         P ⋁ Q is onwaar wanneer beide P en Q onwaar is.

P en Q is waar

P	V	P Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

    Figuur 6

Figuur 5

P	V	P Q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

PQ is onwaar wanneer P is             PQ is waar wanneer beide P en Q is

waar en Q is onwaar             óf albei waar óf albei onwaar.

Voorbeeld 1

Vertaal die volgende in simbole en bepaal dan watter stellings waar of onwaar is.

1. -5 < 8 en 2 < - 50
2. 4 regte hoeke = 360 o of teenoorgestelde hoeke van enige vierhoek en aanvullende.
3. As 'n persoon 20 jaar oud is, dan is die persoon 'n tiener.
4. 2x – 5 = 9 as en slegs as x = 7.

Oplossing

1. Laat P = (-5 < 8); Q = (2 < -50)

P - -5 < 8 is waar (T)

Q = 2 < -50 is onwaar (F)

∴ simbolies vir: P ⋀ Q is onwaar

(sien 2de ry van fig 3)

1. Laat P = (4 regte hoeke = 360 o )

Q (teenoorstaande hoeke van enige vierhoek is aanvullend).

P is waar (T) en Q is onwaar (F)

∴ P ⋁ Q is waar (sien 2de ry van fig 4)

1. Laat P = 'n persoon is 20 jaar oud.

V = 'n persoon is 'n tiener.

P is T en Q is F

∴ P Q is onwaar (sien 2de ry van fig 5)

1. 2x – 5 = 9 as en slegs as x = 7

Laat P = (2x – 5 = 9) en Q = (x = 7)

Wanneer x = 7, 2x – 5 = 2 X 7 – 5

            = 14 – 5 = 9 (T)

Beide P en W het dieselfde T-waardes.

∴ P ⟺ Q is waar (sien 1 ste ry van fig 6)

Omgekeerd, omgekeerd en kontrapositief van voorwaardelike verklaring

Omgekeerde stelling

Die omgekeerde van die voorwaardelike stelling 'as P dan Q' is die voorwaardelike stelling 'as Q dan P', maw die omgekeerde van P Q is Q P.

Omgekeerde stelling

Die omgekeerde van die voorwaardelike stelling 'as P dan Q' is die voorwaardelike stelling 'indien nie P nie, dan nie Q'.

maw die inverse van P Q is P ⇒∼ Q.

Kontrapositiewe stelling

Die omgekeerde van die voorwaardelike stelling 'as P dan Q' is die voorwaardelike stelling 'indien nie Q dan nie P'.

maw die kontrapositief van P Q is P ⇒∼P .

Voorbeeld

Gee die (a) omgekeerde (b) omgekeerde

(c) kontrapositief van die volgende:

(i) As 9 < 19, dan 8 < 5 + 6.

(ii) as twee driehoeke gelykhoekig is, dan is hul ooreenstemmende sye eweredig.

Oplossing

1. (i) as 8 < 5 + 6 9 < 19.

(ii) As twee driehoeke hul ooreenstemmende sye eweredig het, dan is hulle gelykhoekig.

1. (i) as 9 ≮ 19 8 ≮ 5 + 6.

(ii) As twee driehoeke nie gelykhoekig is nie, dan is hul ooreenstemmende sye nie eweredig nie

1. (i) indien ≮ 8 + 6 9 ≮ 19

(ii) as twee driehoeke nie hul ooreenstemmende sye eweredig het nie, dan is hulle nie gelykhoekig nie

LOGIESE BEWERKINGS EN WAARHEIDSTABELS

Voorbeeld

Konstrueer die waarheidstabelle vir die volgende:

( P ⋁∼ Q) (P ⋀∼ Q)

Oplossing

Metode 1

P	V	∼P	∼V	∼P ⋁ ∼V	P ⋀∼Q	( P ⋁∼ Q) (P ⋀∼ Q)
T	T	F	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T	T
F	T	T	F	T	F	F
F	F	T	T	T	F	F

Verduideliking

Aangesien daar twee veranderlikes is, P en Q, sal ons 4 rye hê.

1. P-kolom: Voer twee T'e in, dan twee F'e
2. V-kolom: Voer een T in, dan een F.
3. P-kolom: Voer die ontkenning van P in.
4. Q-kolom: Voer die ontkenning van Q in.
5. Vul die waarheidswaardes van ∼P ⋁ ∼Q in .

∼P ⋁ ∼Q is onwaar wanneer beide P en ∼Q onwaar is volgens die tabel vir V .

1. Vul die waarheidswaardes van P ⋀∼ Q is waar wanneer beide P en Q waar is.
2. Vul die waarheidswaarde van in

( P V ~ Q ) (P V Q)

( PV ∼Q ) (P V Q) is onwaar wanneer ( PV ∼Q ) waar is en (PV ∼Q ) onwaar is .

Metode 2

P	V	∼P	∼ V	( P ⋁∼ Q) (P ⋀∼ Q)
T	T	F	F	F	T	F
T	F	F	T	T	T	T
F	T	T	F	T	F	F
F	F	T	T	T	F	F

    (1) (2) (3)     (4)         (5)

Verduideliking

Voer P- en Q-kolomme soos gewoonlik in.

• vul die waarheidswaardes van ∼P in.

• Vul die waarheidswaardes van Q in.

• Vul die waarheidswaardes van ( P ⋀ Q) in

• Vul die waarheidswaardes van (P ⋀ Q) in.

• Beskou nou die implikasie ( ) as 'n geheel.

Let wel :     Die kolomme van die waarheidstabel word in die aangeduide volgorde voltooi

Tautologie en weerspreking

Wanneer 'n saamgestelde proposisie altyd waar is vir elke kombinasie van waardes van sy samestellende stellings, word dit 'n tautologie genoem . Aan die ander kant, wanneer die stelling altyd onwaar is, word dit 'n teenstrydigheid genoem .

Voorbeeld

Konstrueer die waarheidstabelle om te wys dat:

(a) P ⇔∼ ( P) is 'n tautologie

(b) (P ⋀ Q) [( P) V ( Q ) ] is 'n teenstrydigheid.

Oplossing

•  

P	~ P	~ ( ~ P)	P ⟺~ ( ~ P)
T	F	T	T
F	T	F	T

Die waarheidstabel van P ~ ( ~ P ) is altyd T, dus is dit 'n tautologie

•  

P	V	(P ⋀ Q) [( ~ P) V ( ~ Q)]
T	T	T	F	F	F		F
T	F	F	F	F	T		T
F	T	F	F	T		T	F
T	F	F	F	T		T	T

        (1)     (5) (2) (4) (3)

Kolom (5) toon dat die waarheidstabel van (P ⋀ Q) [( ~ P) V ( ~ Q)] altyd F is, dus is dit 'n teenstrydigheid.

Voorbeeld

Vind die waarheidswaardes van die volgende wanneer die veranderlikes P, Q en R almal waar is. (a) ~ P ⋀ ~ Q (b) ~ (P ⋀ ~ Q) V ~ R

Oplossing

1. ~ P ⋀ ~ V

Deur die waarheidswaardes direk in die stelling ~ P ⋀ ~ Q te vervang, het ons ~ T ⋀ ~ T.

Maar ~ T is dieselfde as F.

∴     ~ T ⋀ ~ T gee     F ⋀ F

Vereenvoudig die disjunksie:     F

∴     Die saamgestelde stelling ~ P ⋀ ~ Q is onwaar.

1. ~ (P ⋀ ~ Q) V ~ R

Vervang die waarheidswaardes: ~ (T ⋀ ~ T) V ~ T

Binne hakies, ontken:     ~ (T ⋀ F) V ~ T

Vereenvoudig hakies:     ~ F V ~ T

                T V F

Vereenvoudig disjunksie: T

∴     ~ (P ⋀ ~ Q) V ~ R is waar.

Voorbeeld

Bepaal die geldigheid van die argument hieronder met premisse X 1 en X 2 en gevolgtrekking S.

X 1 = Alle dokters is intelligent

X 2 : Sommige Nigeriërs is dokters

S: Sommige Nigeriërs is intelligent

In die Venn-diagram

E = {alle mense}

Laat ek = {intelligente mense}

N = {Nigeriërs}

D = {dokters}

    ek             N    

    D                

                    E

Die struktuur van die argument word in figuur hierbo getoon. Die ingekleurde streek verteenwoordig N ⋂ I, daardie Nigeriërs wat intelligent is. Die gevolgtrekking dat sommige Nigeriërs intelligent is, volg dus uit die perseel, en die argument is geldig.

Voorbeeld

In die volgende argument, vind uit of die gevolgtrekking noodwendig uit die uitgangspunt volg of nie. Teken 'n gepaste Venn-diagram en ondersteun jou antwoord met 'n rede.

Londen is in Nigerië

Nigerië is in Afrika.

Daarom is Londen in Afrika

Die figuur hieronder wys die data in 'n Venn-diagram.

        Nigerië

                    Afrika

        Londen

Uit die figuur hierbo volg die gevolgtrekking uit die premisse, L N en N A. die argument is dus geldig.

Let egter op dat die gevolgtrekking onwaar is omdat die eerste uitgangspunt 'Londen is in Nigerië' onwaar is. Daarom kan ons 'n argument hê wat geldig is, maar waarin die gevolgtrekking onwaar is.

DIE KETTINGREËL

Die kettingreël stel dat as X, Y en Z stellings soos X Y en Y Z is, dan X Z. 'n ketting stellings kan soveel 'skakels' hê as wat nodig is. Voorbeeld 5 is 'n voorbeeld van die kettingreël.

By die gebruik van kettingreël. Dit is noodsaaklik dat die implikasie-pyle in dieselfde rigting wys. Dit is byvoorbeeld nie van veel waarde om iets soos X Q R te hê nie, want geen nuttige afleidings kan daaruit gemaak word nie.

Voorbeeld

Bepaal in die volgende argument of die gevolgtrekking noodwendig uit die gegewe premisse spruit of nie.

Alle bestuurders is versigtig. (1ste uitgangspunt )

Versigtige mense is geduldig (2de uitgangspunt )

Daarom is alle bestuurders geduldig (gevolgtrekking)

As     D: mense wat bestuurders is

    C: mense wat versigtig is

    P: mense wat geduldig is

Toe     D C         (1ste uitgangspunt)

En     C P         (2de uitgangspunt )

As     D C     en     C P

Toe     D P         (kettingreël)

Die gevolgtrekking volg uit die perseel.

Voorbeeld

Bepaal die geldigheid van elk van die voorgestelde gevolgtrekkings as die uitgangspunte van 'n argument is

X: Onderwysers is tevrede mense.

Y: Elke dokter is ryk

Z: Niemand wat tevrede is, is ook ryk nie.

Voorgestelde gevolgtrekkings

S 1 : Geen onderwyser is ryk nie

A 2 : Dokters is tevrede mense

A 3 : Niemand kan beide 'n onderwyser en 'n dokter wees nie.

Laat     C = {tevrede mense}

T = {onderwysers}

D = {dokters}

R = {ryk mense}

Die figuur hieronder is 'n Venn-diagram vir die perseel.

    T             D

        C             R    

   

Uit die figuur kan die volgende gevolgtrekkings afgelei word.

1. S 1 is waar, maw geen onderwyser is ryk nie. (T ⋂ R = ∅ )
2. S 2 is vals, maw dokters is tevrede mense is vals. (D ⋂ C = ∅ )

iii. S 3 is waar, maw niemand kan 'n onderwyser en 'n dokter wees nie. (T ⋂ D = ∅ )

VOORWAARDELIKE STATE EN INDIREKTE BEWYSE.

Nog 'n metode wat ons kan gebruik om die geldigheid van argumente te bepaal, veral die meer komplekse, is om die waarheidstabelle te konstrueer soos in die volgende voorbeelde gesien sal word.

Voorbeeld 1

Skryf die argument hieronder simbolies neer en bepaal of die argument geldig is.

1ste uitgangspunt:     as skilpaaie goed eet, dan leef hulle lank

2de uitgangspunt:     Skilpaaie eet goed.

Afsluiting:     Skilpaaie leef lank.

Oplossing

Om die waarheidswaarde te bepaal, is die stappe:

1. Skryf die argumente in simboliese vorms.

Laat P = 'skilpaaie eet goed'

    V = 'hulle leef lank'.

1ste uitgangspunt word P Q.

2de uitgangspunt is P en die gevolgtrekking is Q.

∴ die argument word soos volg geskryf:

P Q     (as P gebeur, dan sal Q gebeur)

P Q         (P gebeur)

        (Q gebeur)

1. Uit die samevoeging van die twee persele. (P Q) ⋀ P
2. Laat die voegwoord in (2) die gevolgtrekking Q impliseer. dws [(P Q) ⋀ P] Q

P	V	P Q	(P Q) ⋀ bl	[(P Q) ⋀ P] V
T	T	T	T	T
T	F	F	F	T
F	T	T	F	T
F	F	T	F	T

Sedert die saamgestelde verklaring

[(P Q) ⋀ P] Q is altyd 'n tautologie, (dws het 'n waarheidswaarde T), die argument is geldig. Hierdie tipe argument word direkte redenering of modus ponems genoem

Voorbeeld 2

Bepaal of die volgende argument geldig is.

As jy hierdie boek bestudeer, sal jy WAEC slaag.

As jy WAEC slaag, gaan jy universiteit toe

Daarom, as jy hierdie boek bestudeer, sal jy universiteit toe gaan.

Oplossing

1. Laat P: jy bestudeer hierdie boek

V: jy sal WAEC slaag.

R: jy sal universiteit toe gaan.

As jy hierdie boek bestudeer, sal jy slaag WAEC word P Q.

As jy WAEC slaag, sal jy universiteit toe gaan word Q R.

Daarom, as jy hierdie boek bestudeer, dan gaan jy universiteit toe word P R.

Bogenoemde kan soos volg geskryf word:

1ste uitgangspunt :     P Q

2de uitgangspunt :     Q R

Afsluiting:     P R

1. Uit die samevoeging van die perseel as (P Q) ⋀ (Q R)

1. Laat die voegwoord impliseer die gevolgtrekking impliseer die gevolgtrekking. dws

[(P Q) ⋀ (Q R)] (P R)

P     V     R     [(P Q) ⋀ (Q R)] (P R)

T     T     T     T     TTTT

T     T     F     T     F F T F

T     F     T     F     F T TT

T     F     F     F     F T T F

F     T     T     T     TTTT

F     T     F     T     F F T T

F     F     T     T     TTTT

F     F     F     T     TTTT

            (1)     (3) (2) (5) (4)

Kolom (5) toon dat die saamgestelde stelling [(P Q) ⋀ (Q R)] (P R) altyd tautologie is. Daarom is die argument geldig. Hierdie tipe argument word transitiewe redenering of kettingreël of die reël van sillogisme genoem.

Let wel: daar is ander vorme van geldige argumente wat jy op jou eie kan ondersoek.

EVALUERING

1. Kies 'n letter om elke eenvoudige verhouding voor te stel en skryf dan die volgende in simbole.

1. David is 'n lui student en hy weier om sy huiswerk te doen.
2. As 'n getal deelbaar is deur 2, dan is dit 'n ewe getal.
3. As die sop nie voldoende bestanddele bevat nie, sal die soep nie lekker smaak nie.

1. Bepaal die waarheidswaardes van die volgende:

1. Abuja is die federale hoofstad van Nigerië en Lagos is die grootste kommersiële stad van Nigerië
2. Driehoeke het drie sye, impliseer dat 'n driehoek 'n veelhoek is.
3. As 'n persoon 15 jaar oud is, dan is die persoon 'n volwassene.

1. Gee die ontkenning van die volgende

1. ’n Agthoek het agt kante.
2. Die hoeklyne van 'n gelykbenige trapesium is gelyk
3. 9 – 17 < 7 of 15 < (-6) 2 .

1. Gebruik A en B en skryf die inverse, omgekeerde en kontrapositiewe van die volgende neer:

1. As Ibadan die grootste stad in Nigerië is, dan is dit die grootste stad in die staat Oyo.
2. As 'n driehoek al sy sye gelyk het, is dit 'n gelyksydige driehoek

1. Teken 'n waarheidstabelle vir die volgende

(a) (P V Q)     (b) (P ⋀ Q)         (c) (P Q) ⋀ (P R)

1. (a) kopieer en voltooi die tabel hieronder:

				Kond.	Inv.	Oms	Kontr.
P	V	P	V	P ⟹ V	P ⇒∼ V	Q P	Q ⇒∼ P
T	T
T	F
F	T
F	T

Waar kond. = voorwaardelik, inv. = omgekeerd, oms. = omgekeerd, kontr. = kontrapositief.

(b) waaroor merk jy op

1. Omgekeerde en omgekeerde stellings?
2. Voorwaardelike en teenstrydige stelling?

1. Alle warmbloedige diere is soogdiere.

Mense is warmbloedige diere

Daarom is mense soogdiere.

1. Alle professore is noukeurig.

Salami is noukeurig

Daarom is Salami 'n professor.

ALGEMENE EVALUERING/HERSIENINGSVRAE

1. Gebruik waarheidstabelle en bepaal die geldigheid van die volgende argumente:
2. As ek lief is vir my vrou, sal ek vir haar 'n geskenk koop.

Ek is lief vir my vrou.

Daarom sal ek vir haar 'n geskenk koop.

2. Alle honde kan blaf.

Dit is nie 'n hond nie.

Daarom kan dit nie blaf nie.

3. As ek jou vriend is, dan sal ek alkohol drink.

Ek drink nie alkohol nie.

Daarom is ek jou vriend.

1. Gebruik tabelle en bepaal of die volgende argumente geldig is of nie.
2. 2 + 5 = 9 of 3 + 4 < 2 + 1

2 + 5 9

Daarom, 3 + 4 ≮ 2 + 1

5. 1 2 van -12 = - 6 of 1 2 + 3 4 = 5 4

1 2 van -12 - 6

Daarom, 1 2 + 3 4 ≠ 5 4

6. As 2x + 5 = 15, dan is x = 5

x 5

Daarom, 2x + 5 15

NAWEEKOPDRAG

Doelwitte

1. Die voorwaardelike stelling P ⇒ Q is onwaar wanneer A. beide P en Q waar is B. P is waar en Q is onwaar C. P is onwaar en Q is waar D. P is onwaar en Q is onwaar.
2. Die ontkenning van PʌQ is A. ~ PʌQ B. ~ Pʌ ~ Q C. ~ Pv ~ Q D. ~ (PvQ)

Gegee dat p die stelling is 'Ayo het vasberadenheid en q is die stelling 'Ayo wil geslaag'. Gebruik die inligting om hierdie vrae te beantwoord. Watter van hierdie simbole verteenwoordig hierdie stellings?

3.Ayo het geen vasberadenheid nie.A.     P ⇒ q B. ~ p ⇒ q C. ~ bl

4.As Ayo geen vasberadenheid het nie, sal hy nie slaag nie.A. ~ p ⇒~ q B. p ⇒~ q Cp ⇒ q

1. p ⇒~ q
2. As Ayo nie sal slaag nie, het hy geen vasberadenheid nie.A. ~ q ⇒ p B. ~ q ⇒~ qC. ~ q ⇒ bl
3. q ⇒ bl

Teorie

• Gebruik waarheidstabelle en bepaal die geldigheid van die volgende argumente:

1. As die weer baie warm is sweet jy baie.

As jy erg sweet, word jou klere vuil.

Daarom, wanneer die weer baie warm is, word jou klere vuil.

1. As dit 'n ongeluk was, sou iets gebreek gewees het

Niks was gebreek nie

Daarom was dit nie 'n ongeluk nie.

1. As jy wiskunde studeer, dan word jy 'n ingenieur.

As jy 'n ingenieur word, sal jy gemaklik wees.

Daarom, as jy wiskunde studeer, sal jy gemaklik wees.

1. Die onderwyser onderrig wiskunde of kuns.

Die onderwyser gee nie wiskunde of kuns aan nie.

Daarom onderrig die onderwyser kuns.

• Gebruik tabelle en bepaal of die volgende argumente geldig is of nie.

1. As 'n driehoek twee gelyke hoeke het, dan het dit twee gelyke sye

PQR het nie twee gelyke sye nie.

Daarom het PQR nie twee gelyke hoeke nie.

1. As 'n driehoek twee gelyke sye het,

Dit is 'n gelykbenige

XYZ het twee gelyke sye.

Daarom is XYZ 'n gelykbenig .

3. Bepaal die geldigheid van elk van die volgende argumente.

1. X is 'n vierkant X is 'n reghoek.

X is 'n vierkant X is 'n ruit.

Daarom is X reghoek X is 'n ruit.

1. X is 'n heelgetal x is 'n heelgetal.

X is 'n heelgetal X is 'n rasionale getal.

Daarom is X heelgetal X is 'n rasionale getal.

LEESOPDRAG

Nuwe Algemene Wiskunde SSS2, bladsye 218-223, oefening 20a en 20b.