VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 2

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

Nuwe Algemene Wiskunde SSS2 deur MF Macraeetal.
Essential Mathematics SSS2 deur AJS Oluwasanmi.

WEEK VIER DATUM: __________

ONDERWERP: ALGEBRAÏESE BREUKE

INHOUD

-Vereenvoudiging van algebraïese breuke.

- Werking van algebraïese breuke.

VEREENVOUDIGING VAN ALGEBRAÏESE BREUKE.

Om 'n algebraïese breuk te vereenvoudig:

Faktoriseer die teller en die noemer van die breuk, waar moontlik.
Verdeel die teller en die noemer deur die gemeenskaplike faktore. Hierdie proses staan soms bekend as die kansellasie van 'n breuk. Wanneer 'n breuk nie verder verminder kan word nie, sê ons die breuk is in sy laagste of eenvoudigste vorm.

Wanneer jy 'n breuk vereenvoudig, onthou die volgende feite:

x 2 – y 2 = (x + y)(x + y) – verskil van twee vierkante.
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

(x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2 (Perfekte vierkante)

x - y = - x y
-m n = - m n
-x -y = x y
x y = m y x = m
Om x 2 – 5x + 6 te faktoriseer, het ons:

X 2 – 5x + 6 = x 2 -2x – 3x + 6

= x(x - 2) – 3(x - 2)

= (x – 2)(x – 3)

Voorbeeld 1

Vereenvoudig die volgende breuke:

(a) 3 x 2 +9 x 2 j 2 3 x 2 j (b) x 2 - y 2 +3x+3y x-y+3

(c) x 2 -9 x 2 + x-6 (d) 5xy-10x+y-2 8-2 y 2

Oplossing

(a) 3 x 2 +9 x 2 j 2 3 x 2 j = 3 x 2 (1+3 j) 3 x 2 x j

Kanselleer die gemeenskaplike faktore

3 x 2 ( 1 +3j) 3 x 2 x j = 1+3 j 2j

(b) x 2 - y 2 +3x+3y x-y+3 = x+y x+y + 3(x+1) x-y+3

x+y (x-y+3) x-y+3

= x + y

(c) x 2 -9 x 2 +x-6 = x+3 (x-3) (x+3) (x-2) = x-3 x-2

(d) 5xy-10x+y-2 8-2 y 2 = 5x y-2 + (y-2) 2(4- y 2 )

= y-2 (5x+1) 2 2-y (2+y)

= - (5x+1) 2(2+y)

Let daarop dat in die bogenoemde y – 2 = - (2 – y)

In die algemeen: x – y = -(y – x)

bv 10 – 4 = -(4 – 10)

dws 6 = -4 + 10

6 = 6

Voorbeeld 2

Vereenvoudig die volgende breuke:

(a) x 2 +9x+8 x 2 +6x+5 (b) 6 x 2 +30x+36 2 x 2 +12x+16

(c) 5 x 2 -5x-100 4 x 2 -8x-96 (d) (6x-18j ) 2 27 j 2 -3 x 2

Oplossing

(a) x 2 +9x+8 x 2 +6x+5 = (x+8) (x+1) (x+5) (x+1) = x+ 8 x+5

(b) 6 x 2 +30x+36 2 x 2 +12x+16 = 6( x 2 +5x+6) 2( x 2 +6x+8)

Faktoriseer nou die kwadratiese uitdrukkings binne die hakies:

= 3 x+3 (x+2) x+4 (x+2) = 3 x+3 (x+4)

(c) 5 x 2 -5x-100 4 x 2 -8x-96 = 5 (x 2 -x-20) 4( x 2 - 2x-24)

Faktoriseer nou die kwadratiese uitdrukkings binne die hakies:

= 5 x+4 (x-5) 4 x-6 (x+4) = 5(x-5) 4(x-6)

(d) (6x-18j ) 2 27 j 2 -3 x 2 = 6x-18j (6x-18j) 3(9 j 2 - x 2 )

= 36 x-3y (x-3y) 3 3y-x (3y+x)

Maar x – 3y = -(3y - x)

= 12 3y-x (x-3y) 3 3y-x (3y+x)

= 12(x-3y) 3y+x

Algebraïese breuke: vereenvoudiging, werking en ongedefinieerde breuke.

EVALUERING

3x-9 3x 2. 8 a 4 -24 x 3 12a x 3 -4 a 5 3. x 2 +3x-10 x 2 +6x+5
5 x 3 j+15 x 2 y 5 x 2 y 2 5. x y 2 z-3 x 2 y 3 z x y 3 6. a 3 b 3 c 4 +ab c 2 a 3 b 2 c 2

WERKING VAN ALGEBRAÏESE BREUKE.

Vermenigvuldiging en deling van breuke

Faktoriseer eers volledig, deel dan die teller en noemer deur enige faktore wat hulle gemeen het.

Voorbeeld 1

Vereenvoudig a 2 +2a-3 a 2 -16 × a+4 a 2 +8a+15

Gegewe uitdrukking

= a+3 (a-1) a-4 (a+4) × a+4 a+5 (a+3)

= a+1 a-4 (a+5)

Die antwoord moet in die gegewe vorm gelaat word.

Moenie die hakies uit vermenigvuldig nie.

Voorbeeld 2

Vereenvoudig m 2 - a 2 m 2 +bm+vm+ ab ÷ m 2 -2vm+ a 2 cm+bc

Om deur 'n breuk te deel, vermenigvuldig met die wederkerige daarvan.

Gegewe uitdrukking

= m 2 - a 2 m 2 +bm+vm+ ab × cm+bc m 2 -2vm+ a 2

= ma (m+a) m+b (m+a) × c(m+b) ma (ma)

= c m -a

Voorbeeld 3

Vereenvoudig

= a 2 + ab a 3 -2ab+ b 3 ÷ a+3b a+2b × ab-a a 2 +3ab+2 b 2

Gegewe uitdrukking

= a 2 + ab a 3 -2ab+ b 3 × a+2b a+3b × ab-a a 2 +3ab+2 b 2

= a(a+b) ab (ab) × a+2b a+3b × a(ba) a+b (a+2b)

= a 2 ab a+3b

Let op dat (a - b) verdeel in (b - a) om -1 te gee.

Dit is omdat -1 x (a - b) = (b - a).

EVALUERING

18ab 15bc × 20cd 24de 2. 12d n 3 15c d 3 ÷ 9 c 3 n 10 c 2 d 2 3. mn 3m+3n
uv 3u-6v × 4u-8v u 2 v 5. ab a+ab ÷ 2a-2b ab

Optel en aftrek van breuke

Voorbeeld 1

Vereenvoudig 6 a - 3 2b

Die noemers is a en 2b. Die LCM van a en 2b is 2ab. Druk elke breuk uit met noemer van 2ab.

6 a - 3 2b = 6 ×2b a ×2b - 3 ×a 2b ×a

= 12b 2ab - 3a 2ab

= 12b-3a 2ab

Voorbeeld 2

Vereenvoudig 2 + 6 a 2 +2 b 2 3ab - 4a-b 2b

Die noemers is 3ab en 2b. die LCM van 3ab en 2b is 6ab. Druk elke breuk in die uitdrukking uit met 'n noemer van 6ab.

2 + 6 a 2 +2 b 2 3ab - 4a-b 2b

= 2 ×6ab 6ab + 2(6 a 2 +2 b 2 ) 6ab - 3a(4a-b) 6ab

= 12ab+12 a 2 +4 b 2 -12 a 2 +3ab 6ab

= 15ab+4 b 2 6ab

= b(15a+4b) 6ab

= 15a+4b 6a

Voorbeeld 3

Vereenvoudig x+4 x 2 -3x - x-1 9- x 2

x+4 x 2 -3 - x-1 9- x 2

= x+4 x(x-3) - x-1 3-x (3+x)

= x+4 x(x-3) - x-1 x-3 (3+x)

= x 2 +7x+12+ x 2 -x x x-3 (x+3)

= 2 x 2 +6x+12 x x-3 (x+3)

= 2( x 2 +3x+6) x x-3 (x+3)

Let op dat die teken voor die breuk verander word aangesien (3 – x) = -(x – 3). Dit gee 'n LCM van x(x – 3)(x + 3).

Voorbeeld 3

Vereenvoudig 1 a-3m - 2 a+3m

1 a-2m - 2 a+3m = a+3m-2(a-2m) a-2m (a+3m)

= a+3m-2a+4m a-2m (a+3m)

= 7m-a -2m (a+3m)

EVALUERING

Vereenvoudig die volgende.

4 x - 6 x+2 2. 4 5d + 7 3e 3. a+2 a - 1 3ab
u 2 - v 2 uv + v u - 3uv- u 2 v 2

ALGEMENE EVALUERING/ HERSIENINGSVRAE

Vereenvoudig die volgende.

x-3 27- 3 x 2 2. mn+m y 2 mn-m
d+1 2d-8 - d+2 12-3d 4. 2 a+1 + 3 a+2
2a-2b+2c 8bc × 10abc 5a-5b+c

NAWEEKOPDRAG

Doelwitte

Vereenvoudig xy z 2 axyz A. z a B. xy z C. xyz a D. y z
Vereenvoudig ac-acd a c 2 A. ad c B. 1-d c C. ac a D. d-1 a
Vereenvoudig x 2 -1 x-1 A. 1 x+1 B. 1 x-1 C. x+1 x-1 D. x+1
Vereenvoudig 2 e+2 - 1 e+3 A. e-8 e+2 (e+3) B. e-6 e+2 (e+3) C. e+8 e+2 (e+3) D 3e +4 e+2 (e+3)
Vereenvoudig 7p q 2 r 21p q 3 r A. 1 q B. pr q C. q 3p D. 1 3q

Teorie

Vereenvoudig die volgende.

1.(a) 7p q 2 r 21p q 3 r (b) pq q 2 - y 2 (c) 1- p 2 p 2 -1

(a) n 2 -9 n 2 -n × n 2 -3n+2 n 2 +n-6 (b) m 2 - n 2 m 2 -2mn+ n 2 ÷ m 2 +mn n 2 -mn (c) a-ab-6b a+ab-6b × a 2 -ab-a b 2 a 2 -2ab-3 b 2

LEESOPDRAG

Nuwe Algemene Wiskunde SSS2, bladsye 193-195, oefening 17b.

Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2