VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 2

DATUM:

KWARTAAL: 1ste KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

Nuwe Algemene Wiskunde SSS2 deur MF Macrae etal.
Essential Mathematics SSS2 deur AJS Oluwasanmi.

WEEK SEWE

ONDERWERP: GELYKTYDIGE VERGELYKINGS

INHOUD

Los gelyktydige vergelykings op deur gebruik te maak van eliminasie- en substitusiemetode
Oplos van vergelykings wat breuke behels.
Woordprobleme.

GELYKTYDIGE LINEÊRE VERGELYKINGS

Metodes om gelyktydige vergelyking op te los

Eliminasie metode
Vervangingsmetode

iii. Grafiese metode

ELIMINERINGSMETODE

Een van die onbekendes met dieselfde koëffisiënt in die twee vergelykings word uitgeskakel deur die twee vergelykings af te trek of op te tel. Dan word die antwoord van die eerste onbekende in enige van die vergelykings vervang om die tweede onbekende te kry.

Voorbeeld

Los op vir x en y in die vergelykings 2x + 5y = 1 en 3x – 2y = 30

Oplossing

Om x uit te skakel, vermenigvuldig vergelyking 1 met 3 en vergelyking 2 met 2

2x + 5j = 1 ………. vgl 1 (x (3)

3x – 2j = 30 ………… vgl 2 (x (2)

Dit lei tot,

6x + 15 j = 3 ………. vgl 3

6x – 4j = 60 ……….. vgl 4

Trek vgl 3 van vgl 4 af

6x – 6x + 15j – (- 4j) = 3 – 60

19j = -57 3

19 19

y = -3

Vervang y = - 3 in vgl 1

2x + 5 (-3) = 1

2x = 1 + 15

2x = 16

2 2

x = 8

∴ y = -3 en x = 8

Evaluering

Gebruik eliminasiemetode om die gelyktydige vergelykings op te los.

5x – 4y = 38 en x + 3y = 22
2c-3d= -4 en 4c-3d= -14

VERVANGINGSMETODE

Een van die onbekendes (verkieslik die een met 1 het sy koëffisiënt) word die onderwerp van die formule in een van die vergelykings gemaak en in die ander vergelyking vervang om die waarde van die eerste onbekende te verkry wat dan in enige van die vergelykings vervang word. kry die tweede onbekende.

Voorbeeld: Los die gelyktydige vergelyking 2x + 5y = 1 en 3x – 2y = 30 op

Oplossing

2x + 5j = 1…………………. vgl 1

3x – 2y = 30 ………….. vgl 2

Maak x die onderwerp in vgl 1

2x = 1 – 5j

2 2

x = 1 – 5y ………… vgl 3

Vervang vgl 3 in vgl 2

3 (1-5j) - 2j = 30

Vermenigvuldig deur met 2 of vind die LCM en kruis vermenigvuldig.

3 – 15j - 4j = 30

3 – 15j – 4j = 60

3 – 19j = 60

-19j = 60 – 3

-19j = 57 3

-19 -19

y = - 3

Vervang y = -3 in vgl 3

x = 1 – 5j

x = 1 – 5 (-3) = 1 + 15 = 16

2 2 2

x = 8

∴ x = 8, y = -3

Evaluering

Los op vir x en y in die vergelykings

x + 2y = 10 en 4x + 3y = 20
4x-y=8 en 5x+y=19

GELYKTYDIGE VERGELYKINGS WAT BREUKE BETREKK

Voorbeeld

Los die volgende vergelykings gelyktydig op

2 - 1 = 3 en 4 + 3 = 16

x y x y

Oplossing

2 - 1 = 3

x y

4+ _ 3 = 16

x y

In plaas daarvan om x en y as die onbekende te gebruik, laat die onbekende ( 1 / x ) 'n ( 1 / y ) wees.

2( 1 / x ) - ( 1 / y ) = 3 …………. vgl 1

4 ( 1 / x ) - 3 ( 1 / y ) = 16 ………………… vgl 2

Gebruik die eliminasiemetode en vermenigvuldig vergelyking 1 met 2 om x uit te skakel.

4( 1 / x ) – 2( 1 / y ) = 6 ………….. vgl 3

4 ( 1 / x ) + 3 ( 1 / y ) = 16 …………. vgl 4

-5 ( 1 / j ) = -10

-5 -5

1 = 2

∴ y = ½

Vervang (1/j) = 2 in vgl 1

2 ( 1 / x ) – ( 1 / y ) = 3

2 ( 1 / x ) – (2) = 3

2( 1 / x ) = 3 + 2

2 ( 1 / x ) = 5

1 = 5

x 2

∴ x = 2/5 _

∴ y = ½, x = 2/5

Evaluering

Los vir x en y gelyktydig op, II. Los die paar vergelykings vir x en y op

x + y = 1 onderskeidelik.

2 2 2x -1 – 3y -1 = 4

x - y = 1½ 4x -1 + y -1 = 1

2 6

VERDERE VOORBEELDE

Los vir x en y gelyktydig op: 2x – 3y + 2 = x + 2y – 5 = 3x + y.

Oplossings

2x – 3y + 2 = x + 2y – 5 = 3x + y

Vorm twee vergelykings wat nie ter sprake is nie

2x – 3y + 2 = 3x + y

x + 2y – 5 = 3x + y

2x – 3y + 2 = x + 2y – 5 -------------- vgl 1

x + 2y – 5 = 3x + y -------------- vgl 2

Herrangskik die vergelykings om die onbekende aan die een kant en die konstante aan die ander kant te plaas.

2x – 3y – x – 2y = - 5 – 2

2x – x – 3y – 2y = -7

x – 5y = -7 ---------------- vgl 3

Van vgl 2

x – 3x + 2y – y – 5

- 2x + y = 5 ------------- vgl 4

Los vgl 3 en 4 op met behulp van substitusiemetode

x – 5y = -7 ---------------- vgl 3

-2x + y = 5 --------------- vgl 4

Maak y die onderwerp in vgl 4.

y = 5 + 2x --------------- vgl 5

Vervang vgl 5 in vgl 3.

x – 5 (5 + 2x) = -7

x – 25 – 10x = -7

-9x – 25 = -7

-9x = -7 + 25

-9x = 18

x = 18

-9

X = -2

Vervang x = - 2 in vgl 5

y = 5 + 2x

y = 5 + 2(-2)

y = 5 – 4

y = 1

∴ x = -2, y = 1

Voorbeeld

Los die vergelykings op

5 x – j/2 = 1 81 x = 27 3x -j

Oplossing

5 x – y/2 = 1 ----------- vgl 1

81 x = 27 3x -y ---------- vgl 2

Vanaf vgl 1 (gebruik die wet van indekse)

5 x – j/2 = 5 0

x – y/2 = 0

2x – y = 0 ------------ vgl 3

Van vgl 2.

81 x = 27 3x -j

3 4x = 3 3(3x-j)

3 2

3 4x-2 = 3 3(3x-j)

Ter vergelyking

4x – 2 = 9x – 3j

4x – 9x + 3y = 2

- 5x + 3y =2 ---------- vgl 4

Los vergelyking 3 en 4 gelyktydig op

2x – y = 0 ---------- vgl 3

-5x + 3y =2 ---------- vgl 4

Gebruik eliminasiemetode: vermenigvuldig vergelyking 3 met 3

6x – 3y = 0 -------- vgl 3

-5x + 3y = 2 ---------- vgl 4

vgl 3 + vgl 4

x = 2

Vervang x = 2 in vgl 3

2x – y = 0

2 (2) – y = 0

4 – y = 0

4 = 0+j

4 = j

∴ x = 2, y=4

WOORDPROBLEME WAT TOT GELYKTYDIGE VERGELYKINGS LEI

Voorbeelde

1.Sewe koppies en agt borde kos N1750, agt koppies en sewe borde kos N1700. Bereken die koste van 'n koppie en 'n bord

oplossing

Laat 'n koppie x wees en bord y

7x + 8j = 1750 -------------- vgl 1

8x + 7j = 1700 -------------- vgl 2

Vermenigvuldig vgl 1 met 8 en vgl 2 met 7 om x (koppies) uit te skakel.

56x + 64y = 14000 ---------- vgl 3

56x + 49y = 11900 ---------- vgl 4

Trek vgl 4 van vgl 3 af

15j = 2100

y = 2100

Y = 140

Vervang y = 140 in vgl 2

8x + 7j = 1700

8x + 7 (140) = 1700

8x + 980 = 1700

8x = 1700 – 980

8x = 720

x = 720

x = 90

∴ Elke koppie kos N 90 en elke bord kos N 140

Vind 'n tweesyfergetal sodat twee keer die tiene-syfer drie minder as drie keer die eenheidsyfer is en 4 keer die getal 99 groter is as die getal wat verkry word deur die syfer om te keer.

Oplossing

Laat die tweesyfergetal ab wees, waar a die tiene-syfer is en b die eenheidsyfer is

Vanaf die eerste verklaring,

2a + 3 = 3b

2a – 3b = -3 ………….vgl

Uit die tweede verklaring,

4(10a + b) – 99 = 10b + a

40a + 4b – 99 = 10b + a

40a – a + 4b – 10b = 99

39a – 6b = 99

Deur deur 3 te deel

13a – 2b = 33 ………….vgl.2

Om beide vergelykings gelyktydig op te los,

a = 3, b = 3

Die tweesyfergetal is dus 33

EVALUERING

1.Die som van twee getalle is 110 en hulle verskil is 20. Vind die twee getalle.

2. 'n Pen 'n liniaal kos #30. As die pen #8 meer kos as die liniaal, hoeveel kos elke item?

ALGEMENE EVALUERING EN HERSIENING VRAAG

Los die volgende gelyktydige vergelyking op: 3(2x – y) = x + y + 5 & 5(3x - 2y) = 2 (x –y) + 1
Vyf jaar gelede was 'n pa 3 keer so oud soos sy seun. Nou beloop hul gesamentlike ouderdomme 110 jaar. Hoe oud is hulle?
’n Dokter en drie verpleegsters in ’n hospitaal verdien saam #255 000 per maand, terwyl drie dokters en agt verpleegsters saam #720 000 per maand verdien. Bereken (a) hoeveel 'n dokter per maand verdien. (b) Hoeveel 'n verpleegster per maand verdien.
Los gelyktydig op, 2 x + 2y = 1; 3 2x+y = 27
Los op: 2x – 2y + 5 = 3x – 4y + 2 = -1

NAWEEKOPDRAG

As (xy) log 10 6 = log 10 216 en 2 x+y =32 , bereken die waardes van x en y
x=1, y=4 b. x= 4, y =1 c. x=-4, y= 1 d. x=4, y= -1
Die snypunt van die lyne 3x- 2y =-12 en x + 2y = 4 is …
(5, 0) b. (3, 4) c. (-2, 5) d. (-2, 3)
Vind die waarde van (x - y), as 2x + 2y =16 en 8x – 2y = 44 a. 2 b. 4 c. 5 d. 6
As 5 (p +2q) =5 en 4 (p+3q) =16, is die waarde van 3 (p+q) ….. a.0 b. -1 c.2 d. 1
Gegee 4x – 3y = 11 evalueer y 2 – 3x

7x – 4j 23 3 a. -2 b. 3 c. -3 d. 2

TEORIE

Gegee dat 2 1- x/y = 1/32, vind x in terme van y, en los dus die gelyktydige vergelykings op

2x + 3j – 30 = 0 en 2 1- x/j = 1/32 (WAEC)

'n Getal bestaan uit twee syfers. Die som van die syfers is 11. As die syfers omgeruil word, word die oorspronklike getal met 9 vermeerder. Vind die oorspronklike getal. (WAEC)

Leesopdrag

Essensiële Wiskunde vir SSS2, bladsye 55-59, oefening 5.2

Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2