Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 2

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 2

DATUM:

KWARTAAL: 1ste KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS2 deur MF Macrae etal.
• Essential Mathematics SSS2 deur AJS Oluwasanmi.

WEEK VYF

ONDERWERP: KWADRATIESE VERGELYKINGS

INHOUD

• Konstruksie van Kwadratiese Vergelykings vanaf Som en Produk van Wortels.
• Woordprobleem wat tot kwadratiese vergelykings lei.

KONSTRUKSIE VAN KWADRATIESE VERGELYKINGS UIT SOM EN PRODUK VAN WORTELS

Ons kan die som en produk van die wortels direk vanaf die koëffisiënt in die vergelyking vind. Dit is gewoonlik om die wortels van die vergelyking α en β As die vergelyking te noem

    ax 2 +bx + C = 0 …………………. ek

het die wortels α en β dan is dit gelykstaande aan die vergelyking

    (x – α )( x – β ) = 0

x 2 – βx – βx + αβ = 0 ………… 2

Deel vergelyking (i) deur die koëffisiënt van x 2

ax 2 + bx + C = 0 ………… 3

aaa

Vergelyk vergelykings (2) en (3)

x 2 + bx + C = 0

aa

x 2 - ( α +β)x + αβ = 0

dan

α+ β= -b

a

en αβ = C

a

Vir enige kwadratiese vergelyking, ax 2 +bx + C = 0 met wortels α en β

α + β = - b

a

αβ = C

a

Voorbeelde

1. As die wortels van 3x 2 – 4x – 1 = 0 α en β is, vind α + β en αβ
2. as α en β die wortels van die vergelyking is

3x 2 – 4x – 1 = 0 , vind die waarde van

(a) α + β

β α

(b) α - β

Oplossings

1. Aangesien α + β = -b

a

Vergelyk die gegewe vergelyking 3x 2 – 4x – 1= 0 met die algemene vorm

ax 2 + bx + C = 0

a = 3, b = -4, C = 1.

Toe

α + β = - b = -(-4)

'n 3

= + 4 = +1 1/3

3

αβ = C = - 1 = -1

'n 3 3

2.a α + β = α 2 +β 2

β α αβ

= (α + β ) 2 - 2αβ

αβ

Hier, vergelyk die gegewe vergelyking, met die algemene vergelyking,

a = 3, b = -4, C = - 1

uit die oplossing van voorbeeld 1 (aangesien die gegewe vergelyking dieselfde is),

α + β = - b = - (-4) = + 4

3 3

αβ = C = - 1

'n 3

dan

α + β = ( α+ β ) 2 – 2 αβ

β α αβ

= (4/3) .2 – 2 ( - 1/3)

• 1/3

= 16 ± 2

9 3

- 1

3

= 16 + 6 ÷ -1/3

9

22 x -3

9 1

= -22

3

of α + β = - 22 = - 7 1/3

β α 3

1. b) Sedert

(α-β) 2 =α 2 + β - 2 α β

maar

α 2 + β 2 = ( α + β) 2 -2 α β

:.(α- β) 2 = ( α+ β ) 2 - 2αβ -2αβ

(α – β) 2 = (α + β ) 2 - 4α β

:.( α – β) = √(α + β ) 2 - 4αβ

( α – β) =√ (4/3 ) 2 – 4 ( - 1 /3 )

= √ 16/9 + 4 /3

= √ 16 + 12

9

= √ 28 = √ 28

9 3

:. α - β =     √ 28

3

Evaluering

As α en β die wortels van die vergelyking is

2x 2 – 11x + 5 = 0, vind die waarde van

1. α - β
2. 1 + 1

α + 1 β+ 1

1. α 2 + β 2

WOORDPROBLEEM LEI TOT KWADRATIESE VERGELYKINGS

Voorbeelde

1. Soek twee getalle waarvan die verskil 5 is en waarvan die produk 266 is.

Oplossing

Laat die kleiner getal x wees.

Dan is die kleiner getal x+5.

Hul produk is x(x+5) .

Vandaar,

x(x+5) = 266

x 2 +5x- 266 = 0

(x-14)(x+19)=0

x=14 of x= -19

Die ander getal is 14+5 of -19+5 dws 19 of -14

:. Die twee getalle is 14 en 19 of -14 en -14.

2. Tina is 3 keer ouer as haar dogter. Oor vier jaar sal die produk van hul ouderdomme 1536 wees. Hoe oud is hulle nou?

Oplossing

Laat die dogter se ouderdom x wees.

Tina se ouderdom = 3x

Oor vier jaar,

Dogter se ouderdom = (x+4)jaar

Tina se ouderdom = (3x+4)jaar

Die produk van hul ouderdomme:

(x+4)(3x+4)= 1536

3x 2 + 16x – 1520 = 0

(x-20)(3x+76) = =0

x=20 of x=-25.3

Aangesien ouderdom nie negatief kan wees nie, x=20 jaar.

:. Dogter se ouderdom = 20 jaar.

Tina se ouderdom = 20x3=60jaar.

Evaluering

1. Dink aan 'n getal, vierkant dit, tel 2 keer die oorspronklike getal by. Die resultaat is 80. Vind die getal.
2. Die oppervlakte van 'n vierkant is 144cm 2 en een van sy sye is (x+2)cm. Vind x en dan die sy van die vierkant.
3. Soek twee opeenvolgende onewe getalle waarvan die produk 224 is.

ALGEMENE EVALUERING/HERSIENINGSVRAE

1. Die oppervlakte van 'n reghoek is 60 cm 2 . Die lengte is 11 cm meer as die breedte. Vind die breedte.
2. 'n Man is 37 jaar oud en sy kind is 8. Hoeveel jaar gelede was die produk van hul ouderdomme 96?
3. As α en β die wortels van die vergelyking 2x 2 – 9x+4=0 is, vind
4. a) α + β (b) αβ (c) α – β (d) αβ/ α + β

NAWEEKOPDRAG

As α en β die wortels van die vergelyking is 2x 2 + 9x+9=0:

1. Vind die produk van hul wortels. A. 4 B. 4.5 C. 5.5 B. -4.5
2. Vind die som van hul wortels. A. 4 B. 4.5 C. 5.5 B. -4.5
3. Vind α 2 +β 2 A. 11.5 B. -11.25 C. 11.25 D. -11.5
4. Vind αβ/ α + β A. 1 B.-1 C. 1.5 D. 4.5

TEORIE

1. Die basis van 'n driehoek is 3 cm langer as die ooreenstemmende hoogte. As die area 44cm 2 is , vind die lengte van sy basis.
2. Vind die vergelyking in die vorm ax 2 +bx+c=0 waarvan die som en produkte van wortels onderskeidelik is:
3. a) 3,4 (b) -7/3 , 0 (c) 1.2,0.8

Leesopdrag

Essensiële Wiskunde vir SSS2, bladsye 50-54, oefening 4.6 en