Blaai deur onderwerpe vir Senior Sekondêr 2 1ste, 2de en 3de Kwartaal, Alle Weke, Alle Vakke
VAK: WISKUNDE
KLAS: SS 2
DATUM:
KWARTAAL: 1ste KWARTAAL
VERWYSINGSBOEKE
ONDERWERP: MEETKUNDIGE PROGRESSIE
INHOUD
Definisie van G.P
Die ry 5, 10, 20, 40 het 'n eerste term van 5 en die gemeenskaplike verhouding
Tussen die term is 2 bv ( 10 / 5 of 40 / 2o = 2).
'n Ry waarin die terme óf toeneem óf afneem in 'n algemene verhouding, word 'n Meetkundige Progressie genoem
(G.P)
Denotasies in G.P
a = 1ste term
r = algemene verhouding
U n = nde term
S n = som
Die nde term van 'n G.P
Die n-de term = Un
Un = ar n-1
1 ste term = a
2 de term = axr =ar
3de term = axrxr = ar 2
4 de term = axrxrxr = ar 3
8de term = axrxrxrxrxrxrx r = ar 7
nth term = axrxrxrx ……….. ar n-1
Voorbeeld
Gegee die GP 5, 10, 20, 40. Vind sy (a) 9 de term (b) nth term
Oplossing
a = 5 r = 10/5 = 2
U 9 = ar n-1
U 9 = 5 (2) 9-1
= 5 (2) 8
= 5 x 256 = 1 280
(b) U n = ar n-1
= 5(2) n-1
Voorbeeld 2
Die 8ste kwartaal van 'n huisdokter is -7/32. Vind die algemene verhouding as die eerste term 28 is.
U 8 = -7/32 U n = ar n-1
-7/32 = 28 (r) 8-1
-7/32 = 28r 7
-7/32 x 1/28 =
- 7 / 32 x 1 / 28 = r 7
7 7
r = =
r = - 0.5
Evaluering
DIE SOM VAN 'N MEETKUNDIGE REEKS
a + ar + ar 2 + ar 3 + ………………. is n-1
verteenwoordig 'n algemene meetkundige reeks waar die terme bygevoeg word.
S = a + ar + ar 2 ………… ar n-1 vgl 1
Vermenigvuldig deur r
rs = ar + ar 2 + ar 3 ………. ar n ……… vgl 2
trek af 2 van 1 af
S – rs = a – ar n
S (1 – r) = a(1-r n )
1 – r 1-r
S.= a ( 1 - r n ) r < 1
1 - r
Vermenigvuldig deur met -1 of subs. vgl. 1 van bv 2
rs - s = ar n - a
S (r – 1) = a(r n – 1)
r – 1 r – 1
S = a(r n -1)
r -1 vir r > 1
Voorbeeld:
Vind die som van die reeks.
Oplossing
a = ½
r = ½ (r = ¼ ÷ ½ = ½)
∴ r< 1
S = a (1-r n )
1 – r
S 6 = [ ½ (1 – (½) 6 ]
1 - ½
S 6 = ½ (1 – 1 / 64 )
½
S 6 = 1 – 1 = 64 – 1 = 63
64 64 64
U n = ar n-1
729 = 1 x 3 n-1 (3 n-1 = 3 n x 3 -1 )
729 = 3n
3
3 n = 3 x 729
3 n = 31 x 36
3 n = 3 7
∴ n = 7
S = a(r n -1)
r – 1
S = a(3 7 – 1) = 2187 - 1
3 – 1 2
2186 = 1093
2
Evaluering: Vind die som van die reeks 40, -4, 0.4 tot by die 7 de term.
SOM VAN GP TOT ONEINDIGHEID
Som van G. P tot oneindig is slegs moontlik waar r < 1 is.
Waar r > 1 is, is daar geen som tot oneindig nie.
Voorbeeld:
(a) a = 1 r = ½
n = 10
S = a (1-r n )
1-r
S = 1(1-( 1 / 2 ) 10 ) = 1(1-0,0001)
1- ½ 1/2
2 (1 – 0,001)
2 – 0,002 = 1,998.
S = a (1 – r n )
1 - r
S = 1 (1-( 1 / 2 ) 100 ) = 1(1- ( 1 / 2 ) 10 ) 10
1 – ½ ½
1 (1-(0,001) 10
½
1 (1)
½ = 2
Daarom neig (1/2) 100 na 0 (oneindig).
Oor die algemeen,
S = a (1-r n ) = a(1-0) = a__
1-r 1-r 1 – r
∴ S ∞ = a__ = n → ∞
1 – r
Voorbeeld 2:
Vind die som van die reeks 45 + 30 + 20 + ……………… tot oneindig.
a = 45, r = 2 / 3 , n = oneindig
S∞ = a S = 45__
1 – r 1- 2 / 3
S∞ = 45 ÷ 1/3
45 x 3/1 _
= 135
Evaluering
GEOMETRIESE GEMIDDELDE
As drie getalle soos x , y en z opeenvolgende terme van 'n GP is, sal hul gemeenskaplike verhouding wees
y = z
x y
y 2 = xz
y = xz
Die middelwaarde , y is die meetkundige gemiddelde (GM). Ons kan afsluit deur te sê dat die GM van twee getalle die positiewe vierkantswortel van hul produkte is.
Voorbeeld
Bereken die meetkundige gemiddelde van I. 3 en 27 II. 49 en 25
4
Oplossing
= √ 3 x 27 4
= √ 81 = 49 x 25
= 9 4
= 7 x 5
2
= 35 = 17 1/2
2
Voorbeeld
Die eerste drie terme van 'n GP is k + 1, 2k – 1, 3k + 1. Vind die moontlike waardes van die gemeenskaplike verhouding.
Oplossing
Die terme is k + 1, 2k – 1, 3k + 1
2k -1 = 3k + 1
k + 1 2k – 1
(2k-1)(2k-1) = (k+1)(3k+1)
4k 2 -2k-2k +1 = 3k 2 +k+3k + 1
4k 2 - 4k +1 = 3k 2 +4k + 1
4k 2 - 3k 2 - 4k - 4k + 1-1 = 0
k 2 -8k = 0
k(k-8) = 0
k = 0 of k - 8 = 0
k = 0 of 8
Die gemeenskaplike verhouding sal twee waardes hê as gevolg van die twee waardes van k
Wanneer k=0 wanneer k= 8
K+1 = 0+1 =1 k+1 = 8+1 = 9
2k- 1= 2x0 – 1 = -1 2k- 1 = 2x8 – 1 = 15
3k+ 1= 3x0+ 1 = 1 3k+1 = 3x8 +1 = 25
terme is 1 , -1 , 1 terme is 9,15,25
gemeenskaplike verhouding, r = -1/1 gemeenskaplike verhouding, r = 15/9
r = -1
EVALUERING
Die derde kwartaal van 'n huisdokter is 1/81. Bepaal die eerste term as die gemeenskaplike verhouding 1/3 is.
ALGEMENE EVALUERING/HERSIENINGSVRAAG
16 4
3.Die derde term van 'n GP is 45 en die vyfde term 405.Vind die GP as die algemene verhouding r positief is.
4. Vind die 7de kwartaal en die nde kwartaal van die vordering 27,9,3,...
5.In 'n GP is die tweede en vierde terme onderskeidelik 0,04 en 1. Vind die (a) gemeenskaplike verhouding (b) eerste term
NAWEEKOPDRAG
(c) -1 / 3 (d) -1 / 2
TEORIE
1.Die 3de kwartaal van 'n GP is 360 en die 6de kwartaal is 1215. Vind die
(i) Algemene verhouding (ii) Eerste kwartaal (iii) Som van die eerste vier terme
1b. As (3- x) + (6) + (7- 5x) 'n meetkundige reeks is, vind twee moontlike waardes vir
(i) x (ii) die gemeenskaplike verhouding, r (iii) die som van die GP
2.Die eerste term van 'n GP is 48. Vind die gemeenskaplike verhouding tussen sy terme as sy som tot oneindig 36 is.
Leesopdrag
Nuwe Algemene Wiskunde SSS2