Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1

Blaai deur onderwerpe vir Senior Sekondêr 1 1ste, 2de en 3de Kwartaal, Alle Weke, Alle Vakke

  1. Tuis
  2. Lesnotas volgens weke en kwartaal
  3. Senior Sekondêr 1

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 3de KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

  • Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 deur MF Macrae et al
  • Essensiële Wiskunde SS 1


WEEK VIER

ONDERWERP: KONSTRUKSIES

  • Konstruksie van vierhoekige veelhoek dws viersydige figuur met gegewe sekere voorwaardes parallelogram
  • Konstruksie van gelyksydige driehoek
  • Lokus van bewegende punte insluitend gelykafstand vanaf twee lyne van twee punte en konstante afstand vanaf die punt.

  • Konstruksie van Vierhoeke

Voorbeelde

  1. Konstrueer 'n vierhoek ABCD waarin AB parallel is aan DC /AB/= 4cm, /BC /= 5cm en /DC/= 7cm en <ADC = 105 o ..Meet die diagonaal BD.
  2. Gebruik jou liniaal en passer om die parallelogram PQRS te konstrueer waarin /QR/ = 5cm, /RS /=11cm en < QRS = 135 o .
  3. Meet die lengte van die korter diagonaal van PQRS.

Oplossings

Maak eers 'n skets van die vierhoek wat gebou moet word soos in die figuur hieronder getoon:












Stappe van die vereiste konstruksie word soos volg gestel:

  1. Teken DNC = 7cm met DN = 3cm en NC = 4cm
  2. Konstrueer CDM = 105 o

iii. Trek 'n boog met N as middelpunt, radius 5 cm om DM by A te sny

  1. Met A as middelpunt en radius van 4cm teken 'n boog.

Trek 'n tweede boog met C as middelpunt en 'n radius van 5 cm om die eerste boog by B te sny

  1. Verbind A tot B en C met B om die vierhoek ABCD te voltooi.

Volgens meting, /BD/= 4.5cm















2) Maak eers 'n skets van die parallelogram PQRS











Die stap van die konstruksie word soos volg gestel:

  1. Trek lyn QR = 5cm
  2. Konstrueer R = 135 o
  3. Met R as middelpunt en radius 11 cm trek ’n boog om die hoek 135 o- lyn by S te sny.
  4. Met S as middelpunt en radius 5cm, teken 'n boog
  5. Met Q as middelpunt en radius 11cm, teken 'n tweede boog om die boog van stap iv te sny. Dit is punt P
  6. Trek lyne om S met P en P met Q te verbind
  7. Trek stippellyn deur diagonale RP en meet dit.





















Deur meting is die lengte van die korter diagonale PR 8,7 cm



EVALUERING

  1. Konstrueer vierhoek ABCD sodat /AB/ = 5cm, /BD/= /DC/ =8cm,<ABD =30 o en <BCD = 45 o .
  2. Meet die diagonaal /AC/.

  • Konstruksie van Gelyksydige Driehoek

'n Gelyksydige driehoek is 'n driehoek waarin al die sye ewe lank is en elkeen se hoek 60 o is .





Voorbeelde

  1. Konstrueer 'n gelyksydige driehoek XYZ sodat /XY/= 5CM
  2. (a) Konstrueer 'n gelyksydige driehoek ABC sodat /AB/= 7cm

(b) Konstrueer die middellyne van A, B en C

(c) Wat neem jy waar?





Oplossings

Skets:









2) Skets: Die vereiste konstruksie is


















  1. Die middellyne van elke hoek ontmoet mekaar by 'n punt binne die gelyksydige driehoek.

  • Konstruksie van lokusse van bewegende punte

  1. Lokus van punte op 'n gegewe afstand vanaf 'n vaste punt.

In die figuur hieronder is O 'n vaste punt, Pi, P 2 is op 'n konstante afstand x cm vanaf O . Die lokus van die punte is 'n sirkel met radius x cm.(sien die figuur hieronder).










ii ). Lokus van punt op 'n gegewe afstand vanaf 'n reguit lyn









In die figuur hierbo is AB 'n reguit lyn wat onbepaald in beide rigtings voortduur. Punte P i , P 2 , P 3 , P 4 is elk 'n afstand x cm vanaf AB. In twee dimensies bestaan die lokus van die punte uit twee reguit lyne parallel met AB, elk op 'n afstand x cm vanaf AB.

Let daarop dat hierdie lokus uit twee afsonderlike lyne bestaan.

iii.) Lokus van punte ewe ver van twee gegewe punte.















In die figuur hierbo is x en y twee vaste punte. Punte Pi, P2, P3 is sodanig dat /PiX/ = /PiY/, /P2X/= /P2Y/en /P3Y. /. P1, P2, P3, lê op die middellyn van XY. Die lokus van die punte is die loodregte middellyn van XY (getoon in die figuur hierbo).



  1. iv ) Lokus van punte ewe ver van twee reguit lyne.















In die figuur hierbo is AB en CD reguitlyne wat by O sny. P1 is ewe ver van AB en CD . Net so is P2 ewe ver van die twee lyne. P1 en P2 lê op die middellyn van die skerp hoek tussen die twee lyne.














In die figuur hierbo is P3 ewe ver van AB en CD.P3 lê op die middellyn van die stompe hoek tussen die twee lyne.

Dus, die volledige lokus van punte wat op gelyke afstand van twee reguit liens is, is die middellynepaar van die hoeke tussen die lyne.(sien die figuur hieronder).

Let daarop dat die twee dele van die lokus reghoekig sny.















Voorbeeld

Gebruik slegs liniaal en passer

a, Konstrueer ABC so dat /AB/ = 6cm, /AC/ = 8.5cm en BAC = 120 o

  1. Konstrueer die lokus l 1 van punte ewe ver van A en B,

  1. Konstrueer die lokus l 2 van punte ewe ver van AB en AC.

d.Vind die snypunte P 1 en P 2 , van l 1 en l 2 en meet /P 1 P 2 /

Oplossing























  1. Let op die konstruksie van BAC = 120 o .

  1. l 1 is die middellyn van AB

  1. l2 is in twee dele. AP 1 is die middellyn van BAC. AP 2 is loodreg op AP 1 , Let daarop dat punte op AP 2 ewe ver van AB en CA geproduseer is.
  2. Deur meting /P 1 P 2 / = 6.8cm

EVALUERING

  1. Konstrueer 'n gelyksydige driehoek ABC sodat /AB/= 8cm
  2. Konstrueer die middelpunte van AB, BC en CA
  3. Wat neem jy waar?

LEESOPDRAG

NGM SS BK 1 bladsye 176-186 Ex 16e No.6 bladsy 186.

ALGEMENE EVALUERING

  1. Konstrueer 'n XYZ waarin /YZ/ = 8.2cm, XYZ = 45 o en XZY = 75 o .

meet !XY!.

  1. Gebruik slegs liniaal en passers en konstrueer:
  1. Die lokus van 'n punt ewe ver van Y en Z.
  2. 'n Punt Q op hierdie lokus, ewe ver van YX en YZ.

NAWEEKOPDRAG

  1. 'n Sirkelmiddelpunt O, radius 5cm word op 'n vel papier geteken. 'n Punt P beweeg op die papier sodat dit altyd 2 cm van die sirkel af is. Die lokus van O A. 'n sirkel, middelpunt O, radius 3cm B. twee sirkels, middelpunt O radiusse 3cm en 7cm C. 'n sirkel, middelpunt O, radius 6cm D. twee sirkels,middel O,radius 4cm en 6cm E. ’n sirkel , middel O, radius 3,5 cm.
  2. XYZ is 'n reguit lyn sodat /XY/ =/YZ/= 3cm .'n Punt P beweeg in die vlak van XYZ sodat /PY/ < /XY/, watter van die volgende beskryf die lokus van P? A. lyn deur X loodreg op XZ B. lyn deur Y loodreg op XZ C. lyn deur Z loodreg op XZ D. sirkelskyf, middel X, radius 3cm E. sirkelskyf, middelpunt 4, radius 3cm.
  3. Beskryf die lokus van 'n punt wat so beweeg dat dit altyd 5 cm van 'n vaste punt O in 'n vlak is. A. reghoek wat 10 cm by 5 cm meet B. vierkant van sylengte 5 cm C. 'n parallelogram waarvan die hoeklyne 10 cm en 5 cm C is. 'n sirkel met radius 5 cm, middelpunt O E. 'n sirkel met radius 10 cm, middelpunt O.
  4. Beskryf die lokus van 'n punt wat langs 'n gelyk vloer beweeg sodat dit 2m van 'n muur van 'n vertrek is.A. Een lyn, parallel aan en 2m van die muur. B. Twee lyne, een aan elke kant van, parallel aan en 2m van die muur C. 'n Sirkel met radius 2m D. 'n Halfsirkel met radius ½ m E. Twee loodregte lyne, elk van lengte 2m
  5. Beskryf die lokus van 'n punt wat so beweeg dat dit 3 cm van 'n vaste lyn AB in 'n vlak is. A. 2 lyne parallel aan AB en 6cm uitmekaar, verbind deur halfsirkelvormige punte. B. 2 lyne parallel aan AB en 8cm uitmekaar; verbind deur halfsirkelvormige punte C. 2 lyne loodreg op AB D. 'n Sirkel met radius 6cm E. sirkel met radius 3cm.

TEORIE

  1. konstrueer 'n trapesium ABCD waarin AB parallel aan DC is, AB =4cm BC = 8cm, CD = 11cm, DA = 6cm. (wenk: in 'n rowwe figuur, verdeel die trapesium in parallelogram AB XD en driehoek BCX. (Konstrueer eers driehoek BCX )
  2. Gebruik slegs liniaal en passer en konstrueer
  1. ABC sodanig dat /AC/ = 8.5cm en ACB = 135 o .
  2. Gebruik enige meetkundige instrumente en vind 'n punt P binne ABC wat op 'n afstand 2.8cm vanaf AC en 6cm van B is. Meet die lengte van AP.














WEEK 5 DATUM................................................... .

ONDERWERP: Deduktiewe bewys

Som van hoeke in 'n driehoek

Die som van die hoeke van 'n driehoek is 180.

Die som van die hoeke van 'n driehoek is 180.





Gegee enige driehoek ABC

Om te bewys: A+B+C=180

Konstruksie: Produseer BC tot 'n punt X. Teken CP parallel met BA.

Bewys: Met die letters van die figuur hierbo

a 1 =a 2 (afwisselende hoeke)

b1 =b2 (ooreenstemmende hoeke)

c+a1+b1 = 180

C+a2+b2 = 180

ABC + A + B = 180

A + B + C = 180




Verwantskap met hoeke op 'n reguit lyn

Die som van hoeke op 'n reguit lyn is 180 o .

Die som van hoeke op 'n reguit lyn is 180 o .




                                    P + q + r = 180 o

Hoeke op 'n parallelle lyn wat deur 'n dwarslyn gesny is

Die figuur hieronder is parallelle lyne wat deur 'n dwarslyn gesny is wat hoeke a – h aandui

Ooreenstemmende hoeke

Uit die figuur hierbo stem die volgende hoeke ooreen:

a = g ; b = h; c = e; d = f

Alternatiewe hoeke

Uit die figuur hierbo is die volgende hoeke afwisselend

a = d; b = c




Vertikaal teenoorgestelde hoeke

Uit die figuur hierbo is die volgende hoeke vertikaal teenoorstaande

a = f ; b = e ; c = h; d = g




Voorbeeld

Gelykbenige driehoeke ABC en ABD word op teenoorgestelde sye van 'n gemeenskaplike basis AB geteken. As ABC = 70 en ADB = 118, bereken ACB en CBD.





Oplossing







In driehoek ABC,

ABC = 70 (gegewe)

BAC = 70 (basishoeke van isos. Driehoek)

Daarom, ACB = 180 – 70 – 70 (hoeksom van driehoek)

= 40

In driehoek ABD,

ADB = 118 (gegewe)

Daarom, ABD + BAD = 180 – 118 (hoeksom van driehoek)

= 62

Daarom is 2 X ABD = 62 (basishoeke van isos. Driehoek)

ABD = 31

SSK = CBA + ABD = 70 + 31 = 101

ACB = 40 en CBD = 101

Parallelogram

'n Parallelogram is 'n vierhoek wat albei pare teenoorstaande sye parallel het.

  1. b)




Rombus, reghoek en vierkant is spesiale voorbeelde van parallelogram. 'n Ruit is 'n parallelogram met sye van gelyke lengte.

Eienskappe van Parallelogram

  1. i) Die teenoorgestelde sye is parallel.
  2. ii) Die teenoorgestelde sye is gelyk.

iii) Die teenoorgestelde hoeke is gelyk.

  1. iv) Die hoeklyne halveer mekaar.

Eienskappe van Rhombus

  1. i) Al vier sye is gelyk.
  2. ii) Die teenoorgestelde sye is parallel.

iii) Die teenoorgestelde hoeke is gelyk.

  1. iv) Die hoeklyne halveer mekaar reghoekig.
  2. v) Die hoeklyne halveer die hoeke.

NB: In 'n reghoek word al die eienskappe van 'n parallelogram gevind en al vier hoeke is regte hoeke. In 'n vierkant word al die eienskappe van 'n ruit gevind en al vier hoeke is regte hoeke.

Onderskep





In die figuur hierbo sny die lyne AB en CD die transversale PQ in drie dele. Die deel van die dwarslyn wat tussen die lyne afgesny is, word 'n snypunt genoem. In die figuur hierbo is die lynstuk XY die snysnit

Afsnitstelling

As drie of meer ewewydige lyne gelyke afsnitte op 'n transversaal afsny, dan sny hulle gelyke afsnitte op enige ander dwarslyn af.





Gegee: Drie parallelle lyne sny 'n vierde lyn by A, B, C sodat /AB/=/BC/ en sny 'n ander lyn by X, Y, Z onderskeidelik.

Om te bewys:/XY/ = /YZ/.

Konstruksie: Teken XP en YQ parallel met ABC om BY en CZ by P en Q onderskeidelik te sny.

Bewys:

AXPB is 'n parallelogram (op. Sye //)

XP = AB (bokant gelyk)

Net so /YQ/ = /BC/ (in //gm YQCB)

/XP/ = /YQ/ (gegewe AB = BC )

In driehoeke XPY, YQZ

/XP/ =/YQ/ (Bewys)

X1 = x2 (korrekte hoeke)

Y1 = y2 (korr. hoeke)

Daarom is driehoek XPY = driehoek YQZ (AAS)

/XY/ = /YZ/

EVALUERING

Vind die lengte k, m, n in die figure hieronder






Kongruente driehoeke

Twee figure of driehoeke is kongruent as hulle presies dieselfde vorm en grootte het. Die volgende is voorwaardes vir kongruensie:

i)Twee sye en die ingeslote hoek van een is onderskeidelik gelyk aan twee sye en die ingeslote hoek van die ander.(SAS) bv. in die figure hieronder is driehoek ABC kongruent aan PQR



ii)Twee hoeke en 'n sy van een is onderskeidelik gelyk aan twee hoeke en die ooreenstemmende sy van die ander.(ASA of AAS) bv. die figure hieronder is kongruent





iii)Die drie sye van die een is onderskeidelik gelyk aan die drie sye van die ander.(SSS)






iv)Hulle is reghoekig, en het skuinssy en 'n ander sy van een onderskeidelik gelyk aan die skuinssy en 'n ander sy van die ander.(RHS)










EVALUERING

Sê of die driehoeke kongruent is, nie kongruent of nie noodwendig kongruent is nie. Indien kongruente toestand toestand van kongruensie







LEESOPDRAG

Noodsaaklike Wiskunde vir Senior Sekondêre Skole 1 bladsy 323

ALGEMENE EVALUERING

  1. In die figuur hieronder, < ABP = <110 o en <DCP = 163 o . Bereken BPC









  1. In driehoek ABC, <BAC= 68 o en <ABC = 30 o . BC word tot X geproduseer. die middellyne van <ABC en <ACX ontmoet by P. bereken <BCP en <BPC.
  2. Vind die letterlengtes in cm.












NAWEEKOPDRAG

In elke pare driehoeke a), b), c), stel die toestand van kongruensie






  1. Noem die toestand van kongruensie vir die driehoekpare in a)ASA b)SAS c)SSS d)nie kongruent
  2. Noem die toestand van kongruensie vir die pare in b)a)SSS b)SAS c)AAS d)nie kongruent
  3. Noem die toestand van kongruensie vir die pare in c)a)SSS b)SAS c)RHS d)nie kongruent

Gebruik hierdie figuur om vrae 4 en 5 te beantwoord





  1. Bereken die hoek gemerk ua)28 b)38 c)48 d)56
  2. Bereken die hoek gemerk va)28 b)56 c)152 d)162

TEORIE

  1. Gegewe die data van figuur hieronder, bewys dat driehoek PQR gelykbenig is.





  1. (a) In figuur hieronder, a) wat is die verhouding /AD/ ÷ /DB/ ?

(b) As /DB/ = 5cm, wat is /AB/?