Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 3de KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 deur MF Macrae et al
• Essensiële Wiskunde SS 1

WEEK TWEE                         Datum …………………………

ONDERWERP: Volumes van stunnings van keël, reghoekige gebaseerde piramide en ander piramides

(a) Volumes van afgeknotte keëls, reghoekige gebaseerde piramides en ander piramides

(b) Bewyse van hoeke som van 'n driehoek = 180 o

(c) Die buitehoek

(a) Volumes van afgeknotte keëls, reghoekige gebaseerde piramides en ander piramides

Baie saamgestelde vastestowwe kan gemaak word deur basiese vastestowwe saam te voeg. In die figuur hieronder word die saamgestelde vaste stowwe soos volg gemaak:

(a)     'n kubus en 'n vierkantige piramide.

(b)     ’n Silinder en keël

Voorbeelde:

1. Die figuur hieronder toon 'n saamgestelde vaste stof wat bestaan uit 'n kubus met 'n rand van 28 cm en 'n vierkantige piramide met 'n hoogte van 16 cm. Bereken die volume van die vaste stof

2. Die buitenste radius van 'n silindriese metaalbuis is R en t is die dikte van die metaal.

(a)     Toon aan dat die volume V, van metaal in 'n lengte, I eenhede, van die buis gegee word deur

            V = П lt (2R – t)

(b)     Bereken dus V wanneer R = 7.5, t = 1 en 1 = 20

Oplossings

1. Van die diagram van die saamgestelde vaste stof gegee in Vraag(1)

    Volume van     =     Vol. van         +     Vol.

    Saamgestelde vaste stof     vierkant-gebaseerde         van

                Piramide         kubus

            = 1 / 3 b 2 h + l 3

            = 1/3 x 28 x 28 x 16 + 283 cm 3

            = 784 x 16 + 28 x 28 x 28 cm 3

            =     12544 + 784 x 28 cm 3

                3

            =     12544 + 21952 cm 3

                3

            =     12544 + 65856 cm 3

                3

            =     26133 1/3 cm 3 _ _

            =     26133 cm 3

Vol. van die             Vol. van Vol. van

Silindriese metaal     =     buite         -     binne

Buis                 silinder         silinder

        =     П R 2 l - П r 2 l .................1

    Maar

        R = t + r ...................2

    Waar

        R     =     radius van buite silinder

        t     =     dikte van die silindriese metaalbuis

        r     =     radius van binnesilinder

    Uit vergelyking (2)

        r = R - t

        En vervang П R – t vir r in vergelyking (1):

    Vol van die silindriese         = ПR 2 l - Пr 2 l

    Meta.buis             = ПR 2 l –П (R – t) 2 l

                    = ПR 2 l – П(R 2 – 2Rt + t 2 ) l

                    = ПR 2 l– ПR 2 l + 2ПRtl - Пt 2 l

                    = 2 П Rtl – Пt 2 l

                    = Пlt (2R – t)

(b)     Wanneer R = 7.5, t = 1 en l = 20, dan

    Vol. van die silindriese

    Metaal buis     =     П l t (2R – t)

            =     22/7 x 20 x 1 (2 x 7,5 - 1)

            =     22/7 x 20 x (15 – 1)

            =     22/7 x 20 x 14

            =     44 x 20

            =     880

As 'n keël of piramide wat op 'n horisontale tafel staan parallel met

die tafel, die boonste deel is kleiner keël of piramide. Die ander deel word 'n frustum genoem.

Om die volume of oppervlakte van 'n frustum te vind, is dit nodig om die frustum te beskou as 'n

volledige keël (of piramide) met die kleiner keël (of piramide) verwyder.

Voorbeelde:

1. Die volume van 'n regte sirkelvormige keël is 5 liter. Bereken die volumes van die twee dele waarin die keël gedeel word deur 'n vlak parallel met die basis, een derde van die pad af vanaf die hoekpunt na die basis. Gee jou antwoorde tot die naaste ml.

Oplossings:

Uit die vraag,

h     =     1

H         3

    H = 3 uur

Gebruik ook soortgelyke driehoeke:

    r = h     = 1

    R     H     3

Dus:

    R = 3r

Vol. van frustum         Vol. van         -     Vol. van

Van keël         =     groot keël         klein keël

            = 1 П R 2 l t - 1 П r 2 h

1. 3

Maar vol. groot keël = 5 liter

        = 5 x 1000 ml

Aangesien 1 liter = 1000 ml

dws

Volume van     =     5000 ml

Groot keël    

    1/3 П R 2 H = 5000 ml

    П R 2 H = 3 x 5000 ml

    П R 2 H = 15000 ml ………. (1)

Ook,

Vanaf 3h = H

    h = H/3

       

en 3r = R

r = R/3

   

Dus, vol. van klein = 1/3 Пr 2 h

    Keël        

    = x π x x

    =

    =

Aangesien vanaf vergelyking (1) hierbo ПR 2 H = 15000

Toe

Vol. van klein = =

Dus:

Vol. of frustum of cone = Vol. van groot keël - Vol. van klein keël

    =

=

=

= 4814,8 m

4815 ml

(b) Bewyse van hoeke som van 'n driehoek = 180 o

Die som van hoeke op 'n reguit lyn is 180 o . in die diagram hieronder is x en y aangrensende hoeke op 'n reguit lyn.

Wanneer twee of meer hoeke 180 o optel, word hulle aanvullende hoeke genoem, dus x + y = 180 o (aanvullende hoeke)

Voorbeelde

Vind die onbekende hoeke in die volgende diagramme:

   

50 o + 70 o + a + 2a = 180 o (som van hoeke op 'n reguitlyn)

120 o + 3a = 180 o 3a = 180 o – 120 o = 60 o

a = 60 3 = 20 o

2a = 2 x 20 o = 40 o

EVALUERING

Noodsaaklike Wiskunde vir Senior Sekondêre Skool 1 Oefening 15.1 No. 1

(c) Die buitehoek

Die buitehoek van 'n driehoek is gelyk aan die som van die twee teenoorgestelde binnehoeke.

Gegee: Enige driehoek ABC

Om te bewys: ACD = x 1 + y 1

Konstruksie: Trek CE parallel met BA.

Bewys: Laat ACE = x en ECD = y

    x 1 = x (afwisselende hoeke, BA//CE)

    y 1 = y (ooreenstemmende hoeke, BA//CE)

    maar ACD = x + y

    ∴∠ AACD = x 1 + y 1

Voorbeeld

1. In die diagram hieronder is APR 'n reguit lyn. Werk die waarde van x uit en vind dus QPR.

Oplossing

3x + 2x + 20 = 200 – 4x (Uitste stelling)

5x + 4x = 200 – 20

9x = 180

X = 20 o

∴ 200 o – 4x = 200 o – 4 x 20 o

    = 200 o – 80 o = 120 o

∴∠ QPR = 180 o – 120 o (som van hoeke op 'n reguitlyn)

1. Die verhouding van die hoeke van 'n driehoek is 3:4:5. Vind die kleinste en die grootste hoeke.

Oplossing

Die hoeke is in die verhouding 3:4:5,

maw 3 + 4 + 5 = 12 dele

maar die som van die hoeke van 'n driehoek is 180 o .

1 ste hoek = 3 12 × 180 o = 45 o

2 de hoek = 4 12 × 180 o = 60 o

3 de hoek = 3 12 × 180 o = 75 o

Die kleinste hoek = 45 o en die grootste hoek is 75 o

Kontroleer: 45 o + 60 o + 75 o = 180 o

EVALUERING

1. Drie hoeke van 'n driehoek x, 2x en 3x. vind die waarde van x en vind dus die hoeke.
2. Die verhouding van die hoeke van 'n driehoek is 2, 3 en 4. Vind die hoeke.

ALGEMENE EVALUERING

1. 'n Lampskerm in die vorm van 'n afgeknotte keël het 'n hoogte van 12 cm en 'n boonste en onderste deursnee van 10 cm en 20 cm.
2. wat is die geboë oppervlakte van die frustum?
3. Wat is die volume van die frustum?
4. Gee albei antwoorde in terme van π

2.Afrustum van 'n piramide is 16cm vierkant aan die onderkant, 6cm vierkant aan die bokant en 12 cm hoog. Vind die volume van die frustum.

LEESOPDRAG

NGM SS Bk 1 bladsye 173-175 Ex 15c Nos 6 en 9 bl 175.

NAWEEKOPDRAG

1. Bereken die volume in cm 3 van die materiaal in 'n silindriese pyp van 1,8 m lank, met die binne- en buitediameters onderskeidelik 16 cm en 18 cm.

1. 'n Saamgestelde vaste stof wat bestaan uit 'n keël bo-op 'n silinder. Die hoogte van die keël is 25 cm. Die hoogte en basisdeursnee van die silinder is onderskeidelik 40cm en 30cm. Bereken die volume van die vaste stof tot 3.sf, met π as 3.14 (sien die figuur hieronder).

1. 'n Opberghouer is in die vorm van 'n stump van 'n regte piramide 4m vierkant aan die bokant en 2,5m vierkant aan die onderkant. As die houer 3m diep is. Wat is sy kapasiteit in m 3 ?
2. Drie hoeke van 'n driehoek is (5x – 7) o , (2x + 15) o en (2x + 1) o . vind die waarde van x en vind dus die grootste en die kleinste hoeke.
3. Die sye PQ en PR van ∆ PQR word onderskeidelik tot T en S geproduseer, sodat TQR = 131 o en QRS = 98 o . vind QPR.

TEORIE

1. 'n Regte piramide op 'n basis van 10m vierkant is 15m hoog.

(a) Vind die volume van die piramide.

(b) As die boonste 6m van die piramide verwyder word, wat is die volume van die oorblywende stuwing?

2. Die keël in die figuur hieronder is presies halfvol water per volume. Hoe diep is die water in die keël?