VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 3de KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 deur MF Macrae et al
Essensiële Wiskunde SS 1

WEEK EEN

ONDERWERP: MENSURING VAN SOLIEDE VORMES

Mensurasie: Die konsep van B – D 'n vorm kubus, blokkies, silinder, driehoekige prisma, keël, reghoekige gebaseerde piramide, totale oppervlakte van keël, silinder en hul volumes.

MENSURING VAN SOLIEDE VORMES

Eienskappe van soliede vorms

a) 'n Kubus

'n Kubus het die volgende eienskappe.

Dit het 12 reguit kante
Dit het 8 hoekpunte
Dit het ook 6 vierkante vlakke
Sy net bestaan uit 6 vierkantige vlakke wat saamgevoeg is

b) 'n Kubus

'n Kubus het die volgende eienskappe.

Dit het 12 reguit kante
Dit het 8 hoekpunte
Dit het ook 6 reghoekige vlakke
Sy net bestaan uit 6 reghoekige vlakke

c) 'n Driehoekige prisma

'n Driehoekige prisma het die volgende eienskappe:

Dit het 6 hoekpunte
Dit het 9 reguit kante
Dit het ook 3 reghoekige vlakke en twee driehoekige vlakke wat die eindvlakke is
Sy net bestaan uit 3 reghoeke en 2 driehoeke wat saamgevoeg is

d) 'n Silinder

Eienskappe:

'n Silinder het 2 sirkelvormige vlakke
Dit het 1 geboë oppervlak
Dit het 2 geboë rande
Sy net bestaan uit twee sirkelvlakke en 1 reghoekige vlak maw sy net bestaan uit 2 sirkels en 1 reghoek.

e) 'n Kegel

'n Kegel het die volgende eienskappe:

Dit het een hoekpunt
Dit het 2 geboë rande
Dit het 1 geboë oppervlak
Dit het ook 1 sirkelvormige gesig
Sy net bestaan uit 'n sektor van 'n sirkel en 'n sirkel

f) Reghoekige gebaseerde piramides

'n Reghoekige piramide het die volgende eienskappe:

Dit het 8 reguit kante
Dit het 5 hoekpunte
Dit het 4 driehoekige vlakke
Dit het 1 reghoekige gesig
Sy net bestaan uit 4 driehoeke en 1 reghoek

EVALUERING

(a) Noem en teken 3 soliede vorms wat jy ken

(b) Skryf die eienskappe neer van elk van die soliede vorms wat jy in 1a hierbo genoem het

(c) Lys een werklike voorwerp vir elk van die soliede vorms genoem in (1a) hierbo

Oppervlakte en volume van algemene vaste vorms

'n Prisma is 'n vaste stof wat eenvormige deursnit het. Blokkies, blokkies en silinders is voorbeelde van prismas. Oor die algemeen,

Volume van prisma = oppervlakte van eenvormige deursnit X loodregte hoogte

=oppervlakte van basis x hoogte

Kubus Cuboids

Silinder

Driehoekige prisma

Kubus

Volume = l 3

Oppervlakte = 6l 2

Kuboid

Volume =lbh

Oppervlakte = 2 (lb + lh + bh)

Silinder

Volume = πr 2 h

Geboë oppervlakte = 2πrh

Totale oppervlakte = 2πrh + 2π r 2

= 2πr (h + r)

Voorbeelde

Bereken die volumes van die volgende vastestowwe. Alle lengtes is in cm.

In die figuur hierbo is PQRS 'n trapesium

Bereken die totale oppervlakte van die vaste stowwe in 1 (b) hierbo

Oplossings

1a.) Volume van prismas = oppervlakte van eenvormige deursnit X loodregte hoogte

= oppervlakte van basis X lengte van die prisma

Oppervlakte van PQRS = ½ ( 7 + 4) X /QR/ cm 2

4 cm

Aangesien /QR/ = / XS/

Oorweeg driehoek PXS

/ PX / 2 + /XS/ 2 = 5 2

3 2 + /XS/ 2 = 25

9 + / XS/ 2 = 25

/XS/ 2 = 25 – 9

/XS/ 2 = 16

/XS/ = √16cm = 4cm

Dus /XS/ = /QR/ = 4cm

Oppervlakte van PQRS = ½ x ( 7 + 4) x /QR/ cm 2

= ½ x 11 x 4 cm 2

= 22cm 2

Vandaar,

Volume van prisma = oppervlakte van eenvormige deursnit X lengte van prisma

= 22cm 2 x 12cm

= 264cm 3

(b) volume van gegewe silinder = πr 2 h

vanaf die gegewe silinder,

r = d/2 = 14/2 cm = 7cm

h = 4 cm

volume van gegewe silinder = π x (7) 2 x 4cm 3

22/7 x 49 x 4 cm

= 22 x 28 cm 3

= 616cm 3

2a) Om die totale oppervlakte van die vaste vorms in 1a en b hierbo te bereken.

2b) Totale oppervlakte van die gegewe silinder = 2πrh + 2πr 2

= 2πr (h + r)

= 2 x 22/7 x 7 ( 4+ 7 ) cm 2

= 44 x 11 cm 2

= 484 cm 2

EVALUERING

1a. ’n Reghoekige tenk is 76 cm lank, 50 cm breed en 40 cm hoog. Hoeveel liter water kan dit hou?

Bereken die totale oppervlakte van die reghoekige tenk in vraag 1a hierbo

Oppervlakte van 'n kegel

'n Sektor van 'n sirkel kan gebuig word om die geboë oppervlak van 'n oop keël te vorm. In die onderstaande figuur is die sektor OA x B van radius l en boog AXB onderspan hoek θ by O. Hierdie sektor is gebuig om 'n kegel van basis radius r en skuins hoogte te vorm

Daar moet kennis geneem word van die volgende punte

Die oppervlakte van die sektor is gelyk aan die oppervlakte van die geboë oppervlak van die keël.
Die lengte van boog A x B in die 1 ste deel van die figuur hierbo is dieselfde as die omtrek van die sirkelvormige basis van die keël in die 2 de deel van die figuur hierbo

Geboë oppervlakte van keël = θ x πl 2 …………..0

360

Ook,

θ x 2πl = 2 πr

360

Deel beide kante deur 2π

θ x 2πl = 2 πr

360 2π 2π

θ x l =r

360

deel beide kante deur l

θ = r

360 l

vervang r/l vir θ in vergelyking i) hierbo:

360

Kromme-oppervlakte van keël = r x πl 2

= Πrl

Vandaar,

Totale oppervlakte = geboë oppervlakte van 'n keël + area van sirkelvormige basis

= πr l +π r 2

= πr (l + r)

Voorbeelde

'n Papierkegel het 'n deursnee van 8 cm en 'n hoogte van 3 cm

a). Maak 'n skets van die keël en gebruik daarom die Pythagoras-stelling om sy skuinshoogte te bereken.

b). Bereken die geboë oppervlakte van die keël in terme van π

c ) As die keël gesny en oopgemaak word in die sektor van 'n sirkel. Wat is die hoek van

die sektor?

d) As ons aanvaar dat die papierkegel aan sy basis toe is, wat sal die totale oppervlak van die geslote papierkeël wees?

Oplossings.

Uit die gegewe inligting oor die papierkegel,

Deursnee = 8 cm

:. Radius = deursnee

= 8cm = 4cm

met behulp van Pythagoras-stelling in die reghoekige driehoek OBC

l 2 = /OB/ 2 + /BC/ 2

l 2 = 3 2 + 4 2

l 2 = 9 + 16

l 2 = 25

Neem vierkantswortel van beide kante

√ l 2 =√ 25

l = 5 cm

:.die skuins hoogte van die papierkeël is 5cm

b) Kromme-oppervlakte van die keël = πrl

= π x 4 x 5 cm

= 20 πcm 2

As die papierkegel gesny en oopgemaak word in die sektor van 'n sirkel soos getoon in die figuur hierbo, dan

area van sektor van sirkel = geboë oppervlakte van die keël

dws θ x π x (5) 2 = 20 x π

360

θ x π x 25 = 20 x π

360

5 θ = 72 x 20

Deel beide kante deur 5

5 θ = 72 x 20

5 θ = 72 x 4

θ = 288 o

EVALUERING

'n 216-sektor van 'n sirkel met 'n radius van 5 cm word gebuig om 'n keël te vorm. Vind die radius van die basis van die keël en sy vertikale hoek
Bereken (a) die geboë oppervlakte (b) die totale oppervlakte van die keël wat in vraag (1) hierbo gevorm word. Los jou anser in terme van П

Volume van piramides en volume van keël

Oor die algemeen,

Volume = 1/3 x basisoppervlakte x hoogte

Vierkantige piramide reghoekige gebaseerde piramidekegel

:. Volume van vierkantgebaseerde piramide = 1/3 xb 2 xh

volume van reghoekige gebaseerde piramide = 1/3 xlxbxh

volume van keël = 1/3 x Πr 2 xh

Voorbeelde

1. 'n Piramide 8 cm hoog staan op 'n reghoekige basis 6 cm by 4 cm. Bereken die volume van die piramide.

'n Regte piramide op 'n basis van 4 cm vierkant het 'n skuins rand van 6 cm. Bereken die volume van die piramide.
Bereken die volume van 'n keël 14cm in basisdeursnee en 24cm hoog.

Oplossings

1) Volume van 'n reghoekige gebaseerde piramide = 1/3 xlxbx h

= 1/3 x 6 x 4 x 8 cm 3

= 8 x 8 cm 3

= 64cm 3

2) Met inagneming van die vierkantige basis ABCD

/DB/ 2 = /DC/ 2 + /CB/ 2

Pythagoras reël:

/DB/ 2 = 4 2 + 4 2

/B/ 2 = 16 + 16.

:. √/DB/ = √ 32

/DB/ = 4 √2 cm

maar

/ EB/ = ½ /DB/

Aangesien t die middelpunt van / DB/ is

Dan /EB/ = ½ X 4 X √ 2

= 2 √2 cm.

Nou

Oorweeg reghoekige OEB

OE 2 + EB 2 = ( OB) 2

OE 2 + ( 2√2) 2 = ( 6) 2

OE 2 + 4 x 2 = 36

OE 2 + 8 = 36

OE 2 = 36 – 8

OE 2 = 28

OE = √28

OE = √4 x 7

OE = 2 x √ 7 cm

OE = 2 √7cm

Maar OE =hoogte van die piramide = 2√7

:.volume van vierkant van gebaseerde piramide = 1/3 xb 2 x h

1/3 x 4 2 x 2 x √7 cm 3

1/3 x 16 x 2 x √7 cm 3

= 32 x √7 cm 3

32 x 2,646 cm 3

= 32 x.0.882 cm 3

= 28. 224cm 3

= 28.2cm 3 tot 1 dp

Sedert

Deursnee = 14cm

Radius = deursnee

= 14 cm.=7 cm

:. Volume van keël = 1/3 πr 2 h

= 1/3 x 22/7 x ( 7 ) 2 x 24

= 1/3 x 22/7 x 49 x 24 cm 3

= 22 x 56 cm 3

= 1232 cm3

EVALUERING

'n Kegel van hoogte 9 cm het 'n volume van n cm 3 en 'n geboë oppervlakte van n cm 3 . Vind die vertikale hoek van die keël
'n Regte piramide op 'n basis van 8 cm vierkant het 'n skuins rand van 6 cm. Bereken die volume van die piramide

ALGEMENE EVALUERING

'n Soliede keël het 'n sirkelvormige basis met 'n radius van 7 cm. die vertikale hoogte van die keël is 15cm. die keël word gesmelt en hergegiet in 'n metaalkubus van sy xcm. Bereken korrek tot 3.sf die waarde van x.
’n Silindriese houer met ’n deursnee 80cm en hoogte 50cm is vol vloeistof. Die vloeistof word dan in 'n ander silinder met 'n deursnee van 90 cm gegooi. bereken die diepte van die water.

LEESOPDRAG

NGM SS Bk 1 bl 166- 170 Ex 15a Nos 1 (d), 1(f), 2(b) en 29c) bladsye 168 -169.

NAWEEKOPDRAG

Bereken die volume van 'n silinder wat 'n radius van 21cm en hoogte 6cm het. A. 8500cm 3 B. 8316cm 3 C. 7632cm 3 D 7500cm 3 E. 8000cm 3
Bereken die totale oppervlak van die silinder in vraag 1. A, 5346cm 2 B, 4653cm 3 C. 3000cm 2 D. 3564 cm 2 E 3800cm 2
Bereken die volume van 'n keël met 'n basisdeursnee van 7cm en 'n hoogte van 6cm A. 77cm 3 B. 70 cm 3 C. 88cm 3 D. 90 cm 3 E. 65cm 3
Bereken die geboë oppervlakte van die keël in vraag 3 hierbo. A, 152 cm 2 B. 150 cm 2 C. 132 cm 2 D 142 cm 2 E. 160cm 2
Bereken die totale oppervlakte van 'n blokkies wat 8cm by 5cm by 3cm is. A.198cm 2 B. 178cm 2 C 188cm 2 D 168cm 2 E. 158cm 2 .

TEORIE

'n Watertenk is 1,2 m vierkantig en 1,35 m diep. Dit is half vol water . Hoeveel keer kan 'n 9 liter emmer uit die tenk gevul word?
'n Meetsilinder met 'n radius van 3 cm bevat water tot 'n hoogte van 49 cm. As hierdie water in 'n soortgelyke silinder met 'n radius van 7 cm gegooi word, wat sal die hoogte van die waterkolom wees?

Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1