Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSING BOEK

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 MF Macrae et al
• WABP Noodsaaklike Wiskunde Vir Senior Sekondêre Skole 1 AJS Oluwasanmi

WEEK NEGE

ONDERWERP: Bekendstelling van sirkel en sy eienskappe

• Bekendstelling van sirkel en sy eienskappe
• Berekening van lengte van boog en omtrek van 'n sektor
• Area van sektore en segmente. Oppervlakte van driehoeke

(a) Bekendstelling van sirkel en sy eienskappe

Dele van 'n sirkel: Die figuur hieronder toon 'n sirkel en sy dele.

Die middelpunt is die punt in die middel van 'n sirkel. Die omtrek is die geboë buitenste grens van die sirkel. 'n Boog is 'n geboë deel van die omtrek. 'n Radius is enige reguit lyn wat die middelpunt met die omtrek verbind. Die meervoud van radius is radius. 'n Koord is enige reguit lyn wat twee punte op die omtrek verbind. 'n Diameter is 'n reguit lyn wat die sirkel in twee gelyke dele verdeel of 'n deursnee is enige koord wat deur die middel van die sirkel gaan.

Streek van 'n sirkel

Die figuur hieronder toon 'n sirkel en sy verskillende streke.

'n Sektor is die gebied tussen twee radiusse en die omtrek. 'n Halfsirkel is 'n gebied tussen 'n deursnee en die

                                                Half sirkel

                                                Segmenteer

omtrek dws die helfte van die sirkel. 'n Segment is die gebied tussen 'n koord en die omtrek.

EVALUERING

Trek 'n sirkel en wys die volgende dele daarop. Twee radiusse, 'n sektor, 'n koord, 'n segment, 'n deursnee, 'n boog; benoem elke deel en kleur enige streke in.

(b) Berekening van lengte van boog en omtrek van 'n sektor

Gegee 'n sirkelmiddelpunt O met radius r. Die omtrek van die sirkel is 2Пr. Daarom, in die figuur hieronder, word die lengte, L, van boog XY gegee as:

L = θ x 2Пr

360 o

Waar θ die hoek is wat deur boog XY by die middel onderspan word en r die radius van die sirkel is.

Ook,

Die omtrek van Sektor XOY = r + r + L

Waar

L = lengte van boog XY

= θ X 2 Пr

360

Toe

Omtrek van

Sektor XOY = r + r + L

= 2r + θ x 2 Пr

            360 o

VOORBEELDE

• 'n Boog met 'n lengte van 28 cm span 'n hoek van 24 0 by die middel van 'n sirkel. Watter hoek span 'n boog met 'n lengte van 35 cm in dieselfde sirkel?

1. Bereken die omtrek van 'n sektor van 'n sirkel met radius 7cm, die hoek van die sektor is 108 o , as П 22 7 is .

Oplossings

1. L = θ x 2 Пr

360

Wanneer L = 28cm, θ = 24 0 , r = ?

Toe

    L = θ x 2 Пr

360 o

28 = 24 x 2 x 22 xr

360 0 7

Kruisvermenigvuldig:

24 x 44 x r = 28 x 360 x 7

15

7 60

r = 28 x 360 x 7 cm

24 x 44

4 11

r = 49 x 15 cm

11

r = 735 cm

11

Ook

Wanneer L = 35 cm, r = 735 cm

11

θ = ?

Toe

L = θ x 2 Пr

360 o

35 = θ x 2 x 22 x 735

360 7 11

Toe,

Kruis vermenigvuldig

1. x 360 x 7 x 11 = θ x 44 x 735

1 11

35 x 360 x 77 = θ

44 x 735

4         105 3

360     = θ = 30 0

12

Dus, wanneer die lengte van die boog 35 cm is, is die hoek wat by die middel onderspan is 30 0

2. Omtrek van 'n sektor van 'n sirkel = 2r + θ x 2 Пr

        360 o

= 2 x 7 + 108 x 2 x 22 x 7

        360 7 1

        3

= 14 + 108 x 44 cm

    360 10

= 14 + 3 x 44 cm

10

= 14 + 132 cm

10

= 14 + 13,2 cm

= 27,2 cm

EVALUERING

1. 'n Stuk draad van 22 cm lank word in 'n boog van 'n sirkel met 'n radius van 4 cm gestuur. Watter hoek span die draad in die middel van die sirkel?
2. Bereken die omtrek van 'n sektor van 'n sirkel met radius 3,5 cm, die hoek van die sektor is 162 0 as П 22 is

7.

Lengte van koord en omtrek van 'n segment .

Beskou 'n sirkelmiddelpunt O met radius r

               

               

                                       

               

           

                   

                           

As OC die loodregte afstand van O tot koord AB en hoek is

AOB = 2 θ, dan kan die lengte van koord AB soos volg gevind word:

           

       

In reghoekige driehoek OCA

AC     =     Sonde θ

r

Kruis vermenigvuldig:

__

AC = r Sin θ

Sedert

AB = 2 x AC

AB = 2r Sin θ

Waar

r = radius van die sirkel

θ =Semi-vertikale hoek van die sektor dws die helfte van die hoek onderspan by die middel deur boog AB.

Ook

Die omtrek van segment ACBD     = Lengte van koord AB + lengte van boog ADB

= 2r Sin θ + θ x 2 Пr

    360 o

Voorbeeld

In 'n sirkel met 'n radius van 6 cm word 'n koord 3 cm van die middel af getrek.

(a) Bereken die hoek onderspan deur die koord in die middel van die sirkel.

(b) Vind die lengte van die mineurboog wat deur die koord afgesny is

1. Vind dus die omtrek van die mineur-segment wat deur die akkoord en die mineurboog gevorm word.

Oplossing

1. Laat die vereiste hoek

= AOB = 2 θ

Waar

θ = Semi vertikale hoek van die sektor.

Toe

Cos θ = 3cm = 1

6 cm 2

Cos θ = 0,5000

θ = Cos -1 0,5000

θ = 60 0

-: Vereiste hoek = 2 θ

            = 2 x 60 0

            = 120 0

b Lengte van klein boog ADB = θ x 2 Пr

1         2     360 0

= 120 x 2 x 22 x 6 cm

360 7

3

1

= 4 x 22 cm

7

= 88 cm = 12 4 cm

7 7

1. Omtrek van klein segment ACBD

= Lengte van + lengte van boog

Akkoord AB ADB

= 2r Sin θ + 12 4 7 cm

= 2 x 6 x sin60 0 + 12 4 7 cm

= 12 x Sonde 60 0 + 12 4 7 cm

= 12 x 0,8660 + 12,5714 cm

= 10,3920 + 12,5714 cm

= 10,3920

12,5714

22,9634 cm

= 22,96 cm tot 2 plekke van desimale.

EVALUERING

1. a. 'n Koord van 4,8 cm lank word in 'n sirkel met 'n radius van 2,6 cm geteken. Bereken die afstand van die koord vanaf die middel van die sirkel.

1. Bereken die hoek onderspan by die middel van die sirkel deur die koord in Vraag 1(a) hierbo
2. Soek dus die omtrek van die klein segment wat deur die koord en die klein boog van die sirkel gevorm word.

LEESOPDRAG

NGM SS BK 2, bl. 31,Ex2a, Nos.2,3,5.

(c) Area van sektore en segmente. Oppervlakte van driehoeke

Area van sektore

Oppervlakte van 'n sektor van 'n sirkel word deur die formule gegee;

Oppervlakte van sektor θ x πr 2

360 o

waar r = radius van die sirkel, θ = hoek onderspan by die middelpunt deur XY of hoek van die sektor

Voorbeelde

1. Bereken die oppervlakte van die sektor van 'n sirkel wat 'n hoek van 45 o by die middel van die sirkel onderspan, deursnee 28 cm (π = 22/7).
2. Die oppervlakte van 'n sirkel PQR met middelpunt O is 72cm 2 . Wat is die oppervlakte van sektor POQ, as POQ = 40 o ?

Oplossings

1. Aangesien die deursnee van die sirkel = 28cm

d = 2r = 28

waar d = deursnee en r = radius

dus 2r = 28

2r = 28 = 14cm

1. 2

Oppervlakte van sektor = θ x πr 2

360 o

= 45 x 22 x ( 14 ) 2

360 7

= 1/8 x 22/7 x 14 x 14 cm

= 77cm 2

Aangesien die oppervlakte van die hele sirkel PQR = 72cm 2

Toe

Oppervlakte van sektor = θ x πr 2

360 o

Maar πr 2 = Oppervlakte van die hele sirkel PQR = 72cm 2

:. Oppervlakte van = 40 x 72 cm 2

sektor POQ 360 o

    = 8 cm 2

Evaluering

voltooi die tabel hieronder vir areas van sektore van sirkels. maak in elke geval 'n rowwe skets.

Radius	Hoek van sektor	Area van sektor
a.14cm	-	462 cm 2
b. --	140	99 cm 2

Area van segmente

'n Segmente van 'n sirkel is die area wat deur 'n koord en 'n boog van die sirkel begrens word. As ons die figuur hieronder in ag neem, het ons 'n hoofsegment en 'n klein segment .

Gegewe die diagram hieronder:

Oppervlakte van die ingekleurde segment= Oppervlakte van sektor POQ – Oppervlakte van driehoek POQ

= θ

360 o x πr 2 - ½ r 2 sin θ

Waar

r = radius van die sirkel

θ = hoek onderspan deur die sektor in die middel

Π= 'n konstante = 22/7

Voorbeelde

1. bereken die oppervlakte van die ingekleurde segment van die sirkel wat hieronder getoon word:

2.Bereken die oppervlakte van die ingekleurde dele in die figuur hieronder. Alle afmetings is in cm en alle boë is sirkelvormig.

Oplossings

1 Oppervlakte van die gegewe ingekleurde segment = θ x πr 2 - 1/2r 2 Sin θ

360 o

    = 56/360 x 22/7 x ( 15 ) 2 - ½ x ( 15) 2 sin 56 0

= 1/45 x 22 x 15 x 15 - ½ x 15 x 15 sin 56 o

= 22 x 5 - ½ x 225 x sin 56 0

= 110 - ½ x 225 x 0,8290

= 110 - 225 x 0, 4145

= 110 – 93,2625 cm 2

= 110 – 93,2625 cm 2

= 16,7375 cm 2

= 16,7 cm 2 tot 3 s. f

2)

Die boog in die gegewe figuur is deel van 'n sirkel soos in die figuur hierbo getoon. Dus area van gegewe ingekleurde segment = Oppervlakte van sektor – area van driehoek

    = θ x πr 2 – ½ r 2 sin θ

360

= 90/ 360 x 22/7 x ( 14) 2 – ½ x (14) 2 sin 90 o

=¼ x 22/7 x 14 x 14 – ½ x 14 x 14 x 1

= 11 x 14 – 14 x 7 cm 2

= 154 - 98 cm 2

= 56cm 2

EVALUERING

Bereken die oppervlakte van die ingekleurde dele in die figuur hieronder. Alle afmetings is in cm en alle boë is sirkelvormig.

1. b)

ALGEMENE EVALUERING

1. ’n Boog van ’n sirkelradius 7cm is 14cm lank. Watter hoek span die boog in die middel van die sirkel?
2. 'n Boog van 'n sirkel waarvan die radius 10 cm is, onderspan 'n hoek van 60 0 in die middel. Vind die lengte van die boog.
3. In die diagram hieronder is O die middelpunt van die sirkel met 'n radius van 20 cm. Bereken:

1. Die oppervlakte van die minderjarige segment PQ
2. Die area van die hoofsegment PQ
3. Die omtrek van die klein segment. (neem = 3.13)

LEESOPDRAG

NGM SS BK1 Bladsye 134-139 Ex 12d Nos 6 en 9 139

NAWEEKOPDRAG

1. Bereken die oppervlakte van 'n sektor van 'n sirkel met radius 6cm wat 'n hoek van 70 o by die middelpunt onderspan (π = 22/7) A. 44cm 2         B. 22cm 2 C. 66cm 2 D. 11cm 2 E. 16.5cm 2
2. Wat is die hoek onderspan by die middel van 'n sektor van 'n sirkel met radius 2cm as die oppervlakte van die sektor 2.2cm 2 is ? (π = 22/7)A. 120 o     B. 31 ½ o C. 43 o D. 58 o E. 63 o
3. Wat is die radius van 'n sektor van 'n sirkel wat 140 o by sy middelpunt onderspan en 'n oppervlakte van 99m 2 het ? A. 18m         27m         C 9m         E. 30m         E. 24m
4. 'n Sektor van 80 o word verwyder uit 'n sirkel met 'n radius van 12cm Watter area van die sirkel is oor? A. 253cm 2 B. 704cm 2 C 176cm 2 D. 125cm 2 E. 352cm 2 π
5. Bereken die oppervlakte van die ingekleurde segment van die sirkel wat in die figuur hieronder getoon word:

(π = 22/7)

10. 10.45cm 2 B. 20.90cm 2 C. 5.25cm 2 D. 19.0cm 2 E. 17.45cm 2

TEORIE

1. Die figuur hieronder toon die deursnit van 'n tonnel. Dit is in die vorm van 'n hoofsegment van 'n sirkel met radius 1m op 'n koord van lengte 1,6m. Bereken:

1. die hoek onderspan by die middel van die sirkel deur die hoofboog korrek tot die naaste 0,1 0
2. die oppervlakte van die deursnit van die tonnel korrek tot 2d.p.

1. Bereken: (i) die oppervlakte van die ingekleurde segmente in die volgende diagramme. (ii) Die omtrek

(Neem 3.14)

                               

• Radius             Hoek by middelpunt         Lengte van boog

A     21 cm                 _______             22 cm

B     ____                 108 o                 132 cm