Blaai deur onderwerpe vir Senior Sekondêr 1 1ste, 2de en 3de Kwartaal, Alle Weke, Alle Vakke
VAK: WISKUNDE
KLAS: SS 1
DATUM:
KWARTAAL: 2de KWARTAAL
VERWYSING BOEK
ONDERWERP: TRIGONOMETRIESE VERHOUDINGS
INHOUD
Sinus, Cosinus en Tangent van skerphoeke
Gegewe 'n reghoekige driehoek, kan die trigonometriese verhouding van skerphoeke gevind word soos hieronder getoon
In die figuur hierbo is ABC enige driehoek, reghoekig by A
bruin B = b bruin C = c (bruin : Opp )
c b Adj
Sonde B = b Sonde C = c Sonde; Op
aaHyp
Cos B = c Cos C = b ( Cos : Adj )
aaHyp
InABC, B en C is komplementêre hoeke dws B + C = 90 o
As B = Ө dan is C = 90 o - Ө.
In die figuur hierbo is sonde Ө =cos ( 90-Ө ) = b
a
Cos Ө = Sonde (90- Ө) = c
a
Let wel: Onthou altyd SOH CAH TOA
ie Sin θ = Opp
Hip
Cos θ= Adj
Hip
Tan O = Opp
Adj.
Voorbeelde
Oplossings
(1)
bruin θ = 8cm = 1.600
5 cm
Ө = bruin -1 1,6000
Ө = 58 o .
Die 3 de hoek in die reghoekige driehoek hierbo = 90 o – 58 o = 32.
Dus, die kleinste hoek van die gegewe driehoek = 32 o
Y
2)
Van die diagram bo geteken die afstand van Y oos van X = ZY
Gebruik die reghoekige driehoek XZY
Sonde 40 o = ZY
200 km
ZY = 200km x sin 40 o
= 200 km x 0,6428
= 128.56km
= 128.6km tot 1d.p
3)
In die gegewe diagram,
LK = Sonde 70 o
7 cm
LK = 7cm x sin 70 o ………… i
LK = 7cm x 0,9397
LK = 6.5779cm
In reghoekige driehoek LKN
LK = sonde MNL
21
ie 7cm x 0,9397 = Sonde MNL
21 cm
3
0.3132 = Sonde MNL
Sonde -1 0,3132 = MNL
ie MNL = 18.3 o
EVALUERING
'n Leer van 20 cm lank rus teen 'n vertikale muur sodat die voet van die leer 9m van die muur af is.
(a) Vind, korrek tot die naaste graad, die hoek wat die leer met die muur maak
(b) Vind korrek tot 1.dp die hoogte bokant die grond waarop die boonste punt van die leer die muur raak. Gebruik van tabelle van trigonometriese verhoudings.
Bepaling van lengtes van akkoorde deur gebruik te maak van trigonometriese verhoudings
Trignometriese verhoudings kan gebruik word om die lengte van akkoorde van 'n gegewe sirkel te vind. In sommige gevalle waar hoeke egter nie gegee word nie, word Pythagoras-stelling gebruik om die lengtes van akkoorde in sulke gevalle te vind. Pythagoras-stelling word soos volg gestel:
Dit stel dat c 2 = a 2 + b 2
Pythagoras-stelling sê dat in 'n reghoekige driehoek, die kwadraat van die lengte van die skuinssy gelyk is aan die som van die kwadraat van die lengtes van die ander twee sye.
Voorbeelde
58 o
Oplossings
1
B
Van die diagram hierbo in reghoekige driehoek ABO:
AB 2 + 3 2 = 5 2 ( Pythagoras-stelling)
AB 2 = 5 2 - 3 2
AB 2 = 25 – 9
AB 2 = 16
AB = √16 = 4cm
Aangesien B dan die middelpunt van akkoord AC is
Lengte van koord AC = 2 x AB
= 2x 4cm = 8cm
2)
0
Laat die afstand van O na HL= xcm
In reghoekige driehoek OMH:
OH 2 = HM 2 + MO 2
OH 2 = 8 2 + 4 2
= 64 + 16
= 80
:. OH = √80
:. OH = √80cm
maar OH = radius van die sirkel
ie r= OH = OL = √80cm
SLEGS in reghoekige driehoek
OL 2 = AAN 2 + NL 2
dws(√80) 2 = x 2 + 5 2
80- 25 = x 2
55 = x 2
Neem vierkantswortel van beide kante
√55 = √x 2
√55 = x = 7. 416cm
:. Die lengte van die loodlyn van O tot HL is 7,416 cm
3)
Die loodlyn van O na AB verdeel die vertikale hoek in 2 gelyke dele en verdeel ook die lengte van koord AB in twee gelyke dele.
In reghoekige driehoek ACO:
AC = Sonde 29 o
OA 1
Kruis vermenigvuldig
AC = OA x sin 29 o
AC = 14cm x Sin 29 o
AC = 14cm x 0,4848
AC = 6.787cm
AB = 2 x 6,787 cm
AB = 13.574cm
:. Die lengte van die koord AB = 13.6cm tot 1 dp
EVALUERING
GRAFIEK VAN SINE EN COSINE VIR HOEKE
In die figuur hieronder is 'n sirkel op 'n Cartesiese vlak geteken sodat sy radius, OP, lengte 1eenheid is. So 'n sirkel word eenheidsirkel genoem.
Die hoek Ѳ wat OP met Os maak, verander volgens die posisie van P op die omtrek van die eenheidsirkel. Aangesien P die punt (x,y) is en /OP/ = 1 eenheid,
Sin Ѳ = y/1 = y
Cos Ѳ = x/1 = x
Daarom gee die waardes van x en y 'n maatstaf van cos Ѳ en sin Ѳ onderskeidelik.
As die waardes van Ѳ uit die eenheidsirkel geneem word, kan dit gebruik word om die grafiek van sin Ѳ te teken. Dit word gedoen deur waardes van y teen ooreenstemmende waardes van Ѳ te plot soos in die figuur hieronder.
In die figuur hierbo gee die vertikale stippellyne die waardes van sin Ѳ wat ooreenstem met Ѳ = 30 o , 60 o ,
90 o ,........., 360 o .
Om die grafiek van cosѲ te teken, gebruik ooreenstemmende waardes van x en Ѳ. Dit gee nog 'n golfvormige kromme, die grafiek van cos Ѳ soos in die figuur hieronder.
Namate Ѳ verby 360 o toeneem , begin beide krommes hulself herhaal soos in die figure hieronder.
Neem kennis van die volgende:
1) Alle waardes van sin Ѳ en cos Ѳ lê tussen +1 en -1.
2) Die sinus- en cosinuskrommes het dieselfde vorms maar verskillende beginpunte.
3) Elke kromme is simmetries oor sy piek (hoogpunt) en trog (laagpunt). Dit beteken dat daar vir enige waarde van sin Ѳ gewoonlik twee hoeke tussen 0 o en 360 o is ; net so vir cos Ѳ. Die enigste uitsonderings hierop is by die kwartdraaie, waar sinѲ en cosѲ die waardes het wat in die tabel hieronder gegee word
0 o | 90 o | 180 o | 270 o | 360 o | |
SondeѲ | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
KosѲ | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
Voorbeelde
1) Verwys na grafiek op bladsy 194 0f NGM Boek 1, a)Vind die waarde van sin 252 o , b)los die vergelyking 5 sin Ѳ = 4 op
Oplossing
a)Op die Ѳ-as verteenwoordig elke klein vierkant 6. Van konstruksie a) op die grafiek:
Sonde 252 o = -0.95
b)As 5 sin Ѳ = 4
dan sin Ѳ = 4/5 = 0.8
Uit konstruksie b) op die grafiek: wanneer sin Ѳ = 0.8, Ѳ = 54 o of 126 o
EVALUERING
1) Gebruik dieselfde grafiek wat in die voorbeeld hierbo gebruik is, en vind die waardes van die volgende
a)sonde 24 o b) sonde 294 o
2)Gebruik dieselfde grafiek om die hoeke te vind waarvan die sinus soos volg is:
ALGEMENE EVALUERING
LEESOPDRAG
NGM SS BK 1 bl 114- 123, Ex 11a.
NOS 10 en 25 bl 117 -118
NAWEEKOPDRAG
TEORIE