VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSING BOEK

Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 MF Macrae et al
WABP Noodsaaklike Wiskunde Vir Senior Sekondêre Skole 1 AJS Oluwasanmi

WEEK DRIE

ONDERWERP: Oplossing van kwadratiese vergelyking deur grafiese metode.

INHOUD

Lees die wortels vanaf die grafiek
Bepaling van die minimum en maksimum waardes
Simmetrielyn.

Die volgende stappe moet geneem word wanneer grafiese metode gebruik word om kwadratiese vergelyking op te los:

Gebruik die gegewe reeks waardes van die onafhanklike veranderlike (gewoonlik x ) om die ooreenstemmende waardes van die afhanklike veranderlike (gewoonlik y ) te bepaal deur die kwadratiese vergelyking of verband wat gegee word. As die reeks waardes van die onafhanklike veranderlike nie gegee word nie, kies 'n geskikte een.
Uit die resultate verkry in stap (i), berei 'n tabel van waardes vir die gegewe kwadratiese uitdrukking voor.
Kies 'n geskikte skaal om jou grafiek te teken.
Teken die asse en stip die punte.
Gebruik 'n besem of buigsame kurwe om die punte te verbind om 'n gladde kurwe te vorm.

Notas

Die wortels van die vergelyking is die punte waar die kromme die x-as sny, want langs die x-as y = 0
Die kromme kan 'n omgekeerde n-vormige parabool wees of dit kan 'n v-vormige parabool wees. Dit is n-vormige parabool wanneer die koëffisiënt van x 2 negatief is en dit is V-vormige parabool wanneer die koëffisiënt van x 2 positief is. Maksimum waarde van y kom voor by die piek of hoogste punt van die n-vormige parabool terwyl minimum waarde van y by die laagste punt van V-vormige parabool voorkom.

Die kromme van 'n kwadratiese vergelyking is gewoonlik in een van drie posisies met betrekking tot die x – as.

(a) (b) (c)

In fig(a) kruis die kromme die x-as by twee duidelike punte. Hierdie twee punte gee die wortels van die kwadratiese vergelyking. In fig (b) is die twee punte saamval, dit wil sê hulle punte is so naby aan mekaar dat die kromme die x-as op een punt raak. Dit stem ooreen met 'n vergelyking wat een herhaalde wortel het.

In fig (c) sny die kromme nie die x-as nie. Daar word gesê dat die wortels van 'n vergelyking wat 'n kromme in so 'n posisie gee, denkbeeldig is.

Die simmetrielyn is die lyn wat die kromme van die kwadratiese vergelyking in twee gelyke dele verdeel.

Voorbeelde

1a. Teken die grafiek van y =11 + 8x – 2x 2 van x = -2 na x = +6.

Vind dus die benaderde wortels van die vergelyking 2x 2 – 8x – 11=0

c.Vind die grafiek af, vind die maksimum waarde van y.

2a. Gegewe dat y = 4x 2 – 12x + 9 , kopieer en voltooi die tabel hieronder

X	-1	0	1	2	3	4
4x 2	4			16		64
-12x	12			-24		-48
+9	9			9		9
Y	25			1	3	25

b. Teken dus 'n grafiek en vind die wortels van die vergelyking 4x 2 – 12x + 9 = 0

Uit die grafiek, wat is die minimum waarde van y?
Van die grafiek, wat is die simmetrielyn van die kromme?

Oplossings

Y = 11 +8x -2x 2

van x =-2 na x = + 6

Wanneer x =-2

Y=11+8(-2)-2(-2) 2

Y = 11 – 16 -2 (+4)

J =11 -16 – 8

Y = -5 – 8 = -13.

Wanneer x = -1

Y= 11 + 8 (-1) -2 (-1) 2

Y= 11 – 8 – 2 ( + 1)

Y = 11 – 8 -2

Y = 3 -2 = 1.

Wanneer x = 0

Y = 11 + 8 (0) – 2 (0) 2

Y = 11 + 0 – 2 x 0

Y =11+ 0 - 0

J=11

Wanneer x=1

Y = 11 + 8 ( 1) -2 ( 1) 2

Y = 11 + 8 – 2 x 1

Y = 19 -2 = 17

Wanneer x =2

Y = 11 + 8 (2) -2 (2) 2

= 11 + 16 - 2 x 4

= 27 – 8 = 19

wanneer x = 3

y = 11 + 8 ( 3) – 2 ( 3) 2

= 11 + 24 – 2 x 9

= 35 – 18 = 17

wanneer x = 4

y = 11 + 8 (4) – 2 (4) 2

= 11 + 32 – 2 x 16

= 43 – 32 = 11

wanneer x = 5

y = 11 + 8 (5) -2 ( 5) 2

= 11 + 40 -2 x 25

= 51 – 50 = 1

wanneer x = 6

y = 11 + 8 ( 6) – 2 (6)

= 11 + 48 -2 x 36

= 59 – 72

=-13

Die tabel van waardes word hieronder gegee:

X	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
Y	-13	1	11	17	19	17	11	1	-13

Skaal

Op x-as, laat 2cm = 1 eenheid; op y-as, laat 1cm = 5 eenhede

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-10

-15

-20

Vanaf die grafiek is die benaderde wortels van die vergelyking die punte waar die kromme die x-as sny, dit is so omdat

y = 11 + 8x – 2x 2

-1 xy = -1 x (11) + 8x ( – 1) – 2x 2 (-1)

-y = -11 - 8x + 2x 2

-y = 2x 2 – 8x – 11 = 0

-1x – y = 0 x -1

dws y = 0

Dus, vanaf die grafiek, is die wortels van die vergelyking 2x 2 -8x – 11 = 0 x = -1.1 of x = 5.1

Die maksimum waarde van y = 19.

2 a. Die voltooide tabel word soos volg gegee

X	-1	0	1	2	3	4
4x 2	4	0	4	16	36	64
-12x	12	0	-12	-24	-36	-48
+9	9	9	9	9	9	9
Y	25	9	1	1	9	25

Skaal

Op x-as, laat 2cm =1eenheid en op y-as, laat 1cm = 5 eenhede

-2 -1 0 1 2 3 4

-5

Vanaf die grafiek is die wortels van die vergelyking die punte waar die kromme die x-as raak, dws x = 1.5 twee keer

Vanaf die grafiek is die minimum waarde van y = 0
Vanaf die grafiek is die simmetrielyn van die kromme lyn x = 1.5

EVALUERING

Gebruik 'n geskikte skaal en teken die grafiek van y = x 2 – 2x van x = -2 na x = + 4
Van die grafiek, vind die benaderde wortels van die vergelyking

x 2 – 2x = 0

Wat is die minimum waarde van y?
Vind die waardes van x wanneer y = 7.

Vind 'n vergelyking vanaf 'n gegewe grafiek

In die algemeen, as 'n grafiek (kromme) die x-as sny, by punte a en b, word die vereiste vergelyking verkry uit die uitdrukking ( x – a) ( x – b ) = 0

Voorbeelde

Vind die vergelyking van die grafieke in die figure hieronder:

Fig. 1 y

6 –

4 –

2 –

-3 -2 -1 1 2 3 x

-5-

-10-

15 –

10 –

5 –

-5 -4 -3 -2 -1 1

-2-

-4-

Oplossings

Eerste in figuur 1 wanneer y = 0, x = -2 en x = ½

Vandaar

x – (-2) x – ½ = 0

x + 2 x – ½ = 0

x ( x – ½) + 2 (x – ½ ) = 0

x 2 – 1 / 2 x + 2x – 1 =0

x 2 + 1 ½ x – 1 = 0 ………… ( 1)

Tweedens:

By die snypunt in y-as

y = -2 wanneer x = 0

Die konstante term in vergelyking (1) is egter – 1

Vermenigvuldig dan beide kante van die vergelyking (1) met 2

maw 2x 2 + 3x – 2 = 0 …………………2

Vergelyking (2) bevredig

x -1/2 x – (-2) = 0

en die vereiste dat die konstante term -2 moet wees

:. Die vergelyking van die kromme is y = 2x 2 + 3x – 2 = 0

Eerstens in fig (2), raak die kromme net aan die x-as by die punt x = -4. Aangesien 'n kwadratiese vergelyking twee wortels het, impliseer dit dat die wortel herhaal word wanneer y = 0

maw wanneer y = 0, x = -4 (twee keer)

Die vergelyking moet dus voldoen

x – (-4) x – (-4) = 0

x + 4 x + 4 =0

x x + 4 +4 x + 4 = 0

x 2 + 4x + 4x + 16 =0

x 2 +8x + 16 = 0 ………..1

Tweedens:

By die snypunt op y-as

y = 15 wanneer x = 0

Die konstante term in vergelyking ( 1) is egter + 16. Vermenigvuldig dan beide kante van die vergelykings (i) met – 1.

maw –x 2 – 8x – 16 = 0 …………..2

Dus voldoen vergelyking 2

( x + 4) ( x + 4) = 0 en die vereiste dat die konstante term - 16 moet wees.

:. Die vergelyking van die kromme is

y = -x 2 – 8x – 16.

EVALUERING

Vind die vergelykings van die grafiek in die figuur hieronder:-

4 –

-1 5/2 _ _ -1 4

-2

10 -

4 –

-2 5

-1 2

ALGEMENE EVALUERING

a. Teken die grafiek van y = x 2 + 2x – 2 van x = -4 na x = + 2.

Soek dus die benaderde wortels van die vergelyking x 2 + 2x – 2 = 0
a. Teken die grafiek van y = x 2 – 5x + 6 van x = -5 na x = + 1
Soek dus die benaderde wortels van die vergelyking x 2 – 5x + 6 = 0

LEESOPDRAG

Nuwe Algemene wiskunde SS 1 bladsye 69– 74 deur MF macrae et al

NAWEEKOPDRAG

Gebruik die grafiek hieronder om vraag 1-5 te beantwoord

-3 -2 -1 1 2 3 4

-2 -

-4 -

-6 -

Vind die vergelyking van die grafiek hierbo
Wat is die oplossings van die vergelykings wat in vraag (I) hierbo verkry is?
Wat is die minimum waarde van y?
Uit die grafiek, wat is die waarde van x wanneer y = 2?
Uit die grafiek, wat is die waarde van y wanneer x = 1 ½ ?

TEORIE

Berei 'n tabel van waardes voor vir die grafiek van y = x 2 + 3x – 4 vir waardes van x van – 6 tot + 3
Gebruik 'n skaal van 1cm tot 1 eenheid op beide asse en teken die grafiek.
Vind die minste waarde van y
Wat is die wortels van die vergelyking x 2 + 3x – 4 = 0?
Vind die waardes van x wanneer y = 1

Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1