Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSING BOEK

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 MF Macrae et al
• WABP Noodsaaklike Wiskunde Vir Senior Sekondêre Skole 1 AJS Oluwasanmi

WEEK TWEE

ONDERWERP: Algemene vorm van kwadratiese vergelyking wat lei tot Formule metode

INHOUD

• Afgeleide van die wortels van die algemene vorm van kwadratiese vergelyking.
• Gebruik die Formulemetodes om Kwadratiese Vergelykings op te los
• Som en produk van kwadratiese wortels.

Afgeleide van die wortels van die algemene vorm van kwadratiese vergelyking

Die algemene vorm van 'n kwadratiese vergelyking is ax 2 + bx + C = 0. Die wortels van die algemene vergelyking word gevind deur die vierkant te voltooi.

ax 2 + bx + C = 0

Deel deur met die koëffisiënt van x 2 .

a x 2 + bx + C = 0

aaa

x 2 + bx + C = 0

aa

x 2 + b x = 0 - C

aa

x 2 + bx = - C

aa

   

Die kwadraat van die helfte van die koëffisiënt van x is

½ x b 2 = b 2

'n 2a

Voeg b 2 by albei kante van die vergelyking.

2a

x 2 + b x + b 2 = - C + b 2

2a2aa     2a

x+ b 2a 2 = - C + b 2

'n 4a 2

x + b 2 = - 4ac + b 2

2a 4a 2

maw x + b 2 = b 2 – 4ac

2a 4a 2

Neem vierkantswortels van beide kante van die vergelyking:

    x+ b 2a 2 = b 2 -4ac 4a 2

maw x + b = ± √ b 2 – 4ac

2a     2a

x = - b 2a b 2 -4ac 4a 2

Vandaar

    x = - b ±√ b 2 – 4ac

2a

EVALUERING

Gestel die algemene kwadratiese vergelyking is Dy 2 + Ey + F = 0

Gebruik die metode om die vierkant te voltooi, lei die wortels van hierdie vergelyking af

Die gebruik van die formulemetodes om kwadratiese vergelykings op te los

Voorbeelde

Gebruik die formulemetode om die volgende vergelykings op te los. Gee die wortels korrek tot 2 desimale plekke:

1. 3x 2 - 5x – 3 = 0
2. 6x 2 + 13x + 6 = 0
3. 3x 2 – 12x + 10 = 0

Oplossing

1. 3x 2 – 5x – 3 = 0

Vergelyk 3x 2 – 5x – 3 = 0

Met byl 2 + bx+ C = 0

a = 3, b = -5, C = -3

Sedert

X = -b ±√ b 2 – 4ac

2a

x = -(-5) ±√ (-5) 2 – 4 x 3 x -3

2 x 3

x = + 5 ± √ 25 + 36

6

x = + 5 ±√61

6

x = + 5 + 7,810 = + 12,810

6 6

of

x = +5 – 7,810 = -2,810

6 6

x = 12,810 of x = - 2,810

6 6

x = 12. 810 of x =- 2.810

2 6

iex = 2,135 of x = -0,468

x = 2,14 of x = -0,47

tot 2 desimale plekke

(2) 6x 2 + 13x + 6=0

vergelyk 6x 2 + 13x + 6=0

met ax 2 +bx + c = 0

a= 6, b = 13, c = 6

Sedert

x =- b ± √ b 2 – 4ac

2a

x = - 13 ±√ (13) 2 – 4 x 6 x 6

2 x 6

x = -13 ±√ 169 - 144

12

x = - 13 ±√25

12

x = = -13 ± 5

12

x = -13 + 5 of x = -13 – 5

12 12

x = - 8 of x = - 18

12 12

x= - 2 of x = -3

1. 2

x=- 0,666 of x = - 1,50

maw x= 0.67 of x = -150 tot 2 desimale plekke .

(3) 3x 2 – 12x + 10 = 0

vergelyk 3x 2 – 12x + 10 = 0 met ax 2 +bx + c = 0, dan

a = 3, b= -12, c = 10.

Sedert

X = -b ± √b 2 – 4ac

    2a

dan

x = - (-12) ±√(-12)2 -4 x 3 x 10

2 x 3

x = + 12 ±√ 144 – 120

6

x = + 12 ±√24

6

x = 12 ± 4,899

6

x = + 12 + 4,899 = 16,899

6 6

of x = + 12 – 4,899 = 7,101

1. 6

maw x = 16.899 of x = 7.101

6 6

x = 2,8165 of x = 1,1835

dws . x = 2,82 of x = 1,18 tot 2 desimale plekke.

EVALUERING

Gebruik die formulemetode om die volgende kwadratiese vergelykings op te los.

1. t 2 – 8t + 2 = 0
2. t 2 + 3t + 1 = 0

• Som en produk van kwadratiese wortels.

Ons kan die som en produk van die wortels direk vanaf die koëffisiënt in die vergelyking vind

Dit is gewoonlik om die wortels van die vergelyking α en β As die vergelyking te noem

    ax 2 +bx + c = 0 …………………. ek

het die wortels α en β dan is dit gelykstaande aan die vergelyking

    (x – α )( x – β ) = 0

x 2 - ∝+β x + ∝β=0 ………… 2

Deel vergelyking (1) deur die koëffisiënt van x 2

ax 2 + bx + c = 0 ………… 3

aaa

Vergelyk vergelykings (2) en (3)

x 2 + bx + c = 0

aa

x 2 - ( α +β)x + αβ = 0

dan

α+ β= -b

a

en αβ = c

a

Vir enige kwadratiese vergelyking, ax 2 +bx + c = 0 met wortels α en β

α + β = - b

a

αβ = C

a

Voorbeelde

1. As die wortels van 3x 2 – 4x – 1 = 0 α en β is, vind α + β en αβ

2. As α en β die wortels van die vergelyking is

3x 2 – 4x – 1 = 0 , vind die waarde van

(a) α + β

β α

(b) α - β

Oplossings

1a. Aangesien α + β = -b

a

Vergelyk die gegewe vergelyking 3x 2 – 4x – 1= 0 met die algemene vorm

ax 2 + bx + c = 0

a = 3, b = -4, c = 1.

Toe

α + β = - b = -(-4)

'n 3

= + 4 = +1 1/3

3

αβ = c = - 1 = -1

'n 3 3

2. (a) α + β = α 2 +β 2

β α αβ

= (α + β ) 2 - 2αβ

            αβ

Hier, vergelyk die gegewe vergelyking, met die algemene vergelyking,

a = 3, b = -4, c = - 1

uit die oplossing van voorbeeld 1 (aangesien die gegewe vergelyking dieselfde is),

α + β = - b = - (-4) = + 4

'n 3 3

αβ = c = - 1

'n 3

dan

α + β = ( α+ β ) 2 – 2 αβ

β α αβ

= (4/3 ) .2 – 2 (- 1/3)

        -1/3

= 16 + 2

9 3

- 1

3

= 16 + 6 ÷ -1

9         3

22 x -3

9 1

= -22

3

of α + β = - 22 = - 7 1/3

β α 3

(b) Sedert

(α-β) 2 =α 2 + β 2 -2α β

maar

α 2 + β 2 = (α + β) 2 -2 α β

:.(α- β) 2 = (α+ β) 2 - 2αβ -2αβ

(α – β) 2 = (α + β) 2 - 4α β

:.(α – β) = √(α + β ) 2 - 4αβ

(α – β) =√(4/3) 2 – 4 (- 1 /3)

= √16/9 + 4 /3

= 16+12 9

= 28 9 = 28 3

:. α - β = √ 28

3

EVALUERING

As α en β die wortels van die vergelyking 2x 2 – 11x + 5 = 0 is, vind die waarde van

1. α - β
2. 1 ∝+1 + 1 β+1

ALGEMENE EVALUERING

Los die volgende kwadratiese vergelykings op:

1. 63z = 49 + 18z 2
2. 8s 2 + 14s = 15

Los die volgende op deur gebruik te maak van formulemetode:

1. 12j 2 + j – 35 = 0
2. u 2 – 15 u + 54 = 0

LEESOPDRAG

Nuwe Algemene Wiskunde SS Bk2 bladsye 41-42, Ex 3e Nos 19 en 20 bladsy 42.

NAWEEKOPDRAG

As α en β die wortels van die vergelyking is 2x 2 – 7x – 3 = 0, vind die waarde van:

1. α + β (a) 2 /3 (b) 7 /2 (c) 2 /5 (d) 5 /3
2. α β (a) -3 / 2 (b) 2 /3 (c) 3 /2 (d) – 2 / 3
3. α β 2 + α 2 β (a) 21 /4 (b) 4 /21 (c) – 4 /21 (d) -21 /4

Los die volgende vergelyking op deur die formulemetode te gebruik.

1. 6p 2 – 2p – 7 = 0
2. 3 = 8q – 2q 2.

TEORIE

1. Los die vergelyking 2x 2 + 6x + 1 = 0 op deur die formulemetode te gebruik
2. As α en β die wortels van die vergelyking 3x 2 -9x + 2 = 0 is, vind die waardes van

1. α β 2 + α 2 β
2. α 2 - αβ + β 2