Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 2de KWARTAAL

VERWYSING BOEK

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 MF Macrae et al
• WABP Noodsaaklike Wiskunde Vir Senior Sekondêre Skole 1 AJS Oluwasanmi

WEEK TIEN

ONDERWERP: LOGICA

INHOUD

• Eenvoudige waar en vals stellings
• Negatief en kontrapositief van eenvoudige stelling.
• Antesedente, gevolg en voorwaardelike verklaring (implikasie)

LOGIESE STELLINGE

'n Logiese stelling is 'n mondeling of geskrewe verklaring wat óf waar óf onwaar is, maar nie albei nie.

'n Ware stelling het 'n waarheidswaarde T

'n Vals stelling het 'n waarheidswaarde F

Logiese stellings word aangedui met letters p, q, r ……

Vrae, uitroepe, opdragte en uitdrukking van gevoelens is nie logiese stellings nie.

Bv: Watter van die volgende is logiese stellings?

1. Nigerië is 'n Afrika-land         (Verklaring)
2. Wie is hy?                     (Nie verklaring nie)
3. As ek hardloop, sal ek nie laat wees nie             (Verklaring)
4. Japannese is hardwerkende mense         (Verklaring)
5. Wat 'n lieflike man!             (Nie verklaring nie)
6. Die aarde is konies van vorm         (Verklaring)
7. As ek aan my familie dink             (Nie verklaring nie)
8. Neem die potlood weg             (Nie verklaring nie)

EVALUERING

Noem watter van die stellings 'n logiese stelling is

1. Caesar was 'n groot leier
2. Ag Mansa Musa, jy is wonderlik!
3. Is hy enigsins 'n ernstige onderwyser?
4. As 6 'n onewe getal is, dan is 3 + 5 = 10
5. Hou op om met die seun te praat
6. The Broking House In Ibadan is 'n manjifieke gebou

   

OPLOSSING

1. 'n Logiese stelling
2. Nie 'n logiese stelling nie (Uitroep)
3. Nie 'n logiese stelling nie (Vraag)
4. 'n Logiese stelling
5. Nie 'n logiese stelling (opdrag)
6. 'n Logiese stelling

    Leesopdrag: Verdere Wiskundeprojek Ex 9a V 1&2

NEGASIE

Gegewe 'n stelling p, is die ontkenning van p geskryf ~p die stelling 'dit is onwaar dat p' of     "nie p"

    As P waar is, is (T) ~p onwaar (F) en as P onwaar is (F) is ~p waar (T) .

    Die verwantskap tussen P en ~p word getoon in 'n tabel wat 'n waarheidstabel genoem word

    P ~p

            T F

            F T

Vb I: Laat P die stelling wees 'Nigerië is 'n ryk land' dan is ~p die stelling 'Dit is onwaar dat Nigerië 'n ryk land is of 'Nigerië is nie 'n ryk land nie'

Ex II: Laat r die stelling 3 + 4 = 8 wees dan is ~p die stelling 3 + 4 ≠ 8

Ex III: Laat q die stelling wees 'gelykbenige driehoeke is gelykhoekig' dan is ~q die stelling 'dit is onwaar dat gelykbenige driehoeke gelykhoekig is of 'gelykbenige driehoeke nie gelykhoekig is nie'.

           

EVALUERING

1. Skryf die ontkenning elk van die volgende stellings neer.
2. Dit is baie warm in die trope.
3. Hy is 'n aantreklike man.
4. Die sokkerkaptein het die eerste doel aangeteken.
5. Kortpaaie is gevaarlik.
6. Skryf die ontkenning van elk van die volgende neer en vermy die woord 'nie' so veel as moontlik.

1. Hy was gister by die skool.
2. Sy vriend is jonger as my broer.
3. Sy is die kortste meisie in die klas.
4. Hy het die minste punt in die eksamen behaal.

       

LEESOPDRAG

Verdere wiskundeprojekte Bv. 9a V 3 – 7.

   

VOORWAARDELIKE VERKLARING

Laat q staan vir die stelling 'Femi is 'n briljante student' en r staan vir die stelling 'Femi het die toets geslaag'. Een manier om die twee stellings te kombineer is 'As Femi 'n briljante is     student dan het Femi die toets geslaag' of 'As q dan r'

Die stelling 'As q dan r' is 'n kombinasie van twee eenvoudige stellings q en r. Dit word 'n saamgestelde stelling genoem.

Simbolies kan die saamgestelde stelling soos volg geskryf word: 'As q dan r' as q ⇒ r

    Die stelling q ⇒ r is werklik as

    q impliseer r of

    as q dan r of

    q as r

    Die simbool ⇒ is 'n bewerking. In die saamgestelde stelling q ⇒ r word die stelling q genoem     die antesedent terwyl die substelling r die gevolg van q ⇒ r genoem word.

    Die waarheid- of onwaarheidstabel vir q ⇒ r word hieronder getoon.

q r q ⇒ r

T TT

T F F

F T T

F F T

Bv: As q die stelling 'Ek is 'n man' is en r die stelling 'Die son sal opkom' is

        Oorweeg die stellings.

1. As ek 'n man is dan sal die son opkom
2. As ek 'n man is dan sal die son nie opkom nie
3. As ek nie 'n mannetjie is nie dan sal die son opkom
4. As ek nie 'n man is nie, sal die son nie opkom nie

Die stelling (a), (c) en (d) is almal waar, maar b is nie waar nie, want die antesedent is waar en die gevolg is onwaar.

OMKEERSTE STELLING : Die stelling q ⇒ p word die omgekeerde van die stelling p⇒ qeg genoem Laat p die stelling ''n driehoek is gelykhoekig' en q die stelling ''n driehoek is gelyksydig' wees.

    Die toestand p ⇒ q beteken as 'n driehoek gelykhoekig is, dan is dit gelyksydig.

    Die stelling q ⇒ p beteken as 'n driehoek gelyksydig is, dan is dit gelykhoekig.

INVERSE STELLING : Hierdie stelling ~p ⇒~ q word die inverse van die stelling genoem     p ⇒ q. As p die stelling 'is 'n driehoek gelykhoekig en q is die stelling ''n driehoek is     gelyksydig' die stelling~p ⇒~ q is die stelling 'as 'n driehoek nie gelykhoekig is nie, dan is dit     is nie gelyksydig nie'.

   

KONTRAPOSITIEWE STELLING : Die stelling ~q ⇒~ p word die kontrapositiewe stelling van p ⇒ q genoem.

    As p die stelling 'Ek kan swem' is en q die stelling 'Ek sal wen' is, dan is die stelling     ~q ⇒~ p is die stelling 'As ek nie kan swem nie, kan ek nie wen nie'.

   

EVALUERING

As p die stelling 'dit reën genoeg' is en q die stelling 'die oes sal goed wees', skryf die simbool van hierdie stellings.

(i)     As dit genoeg reën, sal die oes goed wees.

(ii)     As dit nie genoeg reën nie, sal die oes swak wees.

(iii)     As die oes swak is, reën dit nie genoeg nie.

(iv)     Dit reën nie genoeg nie.

(v)     As dit nie genoeg reën nie, sal die oes goed wees.

       

IDENTIFIKASIE VAN ANTISENSIE EN GEVOLG VAN EENVOUDIGE STELLINGE.

1. Tweevoorwaardelike verklarings
2. Die Kettingreël
3. TWEEVOORWAARDELIKE STELLINGE: As p en q stellings is sodat p ⇒ q en q ⇒ p geldig is, dan impliseer p en q mekaar of p is ekwivalent aan q en ons skryf p ⇔ q. Die stelling p ⇔ q word 'n tweevoorwaardelike stelling van p en q genoem en die stelling p en q is ekwivalent aan mekaar.

    p ⇔ q kan gelees word as

        q is gelykstaande aan p of

        q as en slegs as p of

        p as en slegs as q of

        as p dan q en as q dan p

   

Die waarheid of onwaarheid van p ⇔ q word hieronder getoon.

P	q	p ⇔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

           

'n Tweevoorwaardelike stelling is waar wanneer twee substellings dieselfde waarheidswaarde het.

bv. As p die stelling is 'die binnehoek van 'n veelhoek is gelyk' en q is die stelling     ''n veelhoek is reëlmatig'.

    p ⇒ q is die stelling 'as die binnehoeke van 'n veelhoek gelyk is, dan is die veelhoek     gereeld'.

    q ⇒ p is die stelling 'as 'n veelhoek reëlmatig is, dan is die binnehoeke van die veelhoek     gelyk'.

    p ⇒ q en q ⇒ p

    p ⇔ q

    p en q is gelykstaande aan mekaar.

    Voorbeelde: Laat p die stelling 'Mary is 'n model' wees

    Laat q die stelling 'Mary is pragtig' wees

    Oorweeg hierdie stellings.

1. Mary is 'n model as en net as sy mooi is.
2. Mary is 'n model as en net as sy lelik is.
3. Mary is nie 'n model as en net as sy mooi is nie.
4. Mary is nie 'n model as en net as sy lelik is nie.

Stellings a en d is waar omdat die substellings dieselfde waarheidswaarde het. Verklarings     b en c is onwaar omdat die substellings verskillende waarheidswaardes het.

   

2. DIE KETTINGREËL : As p, q en r drie stellings is sodat p ⇒ q en q ⇒ r.

Vb I: Oorweeg die argumente

Uitgangspunt     T 1 : As 'n student baie hard werk, slaag hy sy eksamen

Uitgangspunt     T 2 : Indien 'n student sy eksamen slaag, word 'n sertifikaat aan hom toegeken.

Afsluiting     T 3 : As 'n student baie hard werk, word 'n sertifikaat aan hom toegeken.

        OPLOSSING

        Laat p die stelling wees "'n student werk baie hard"

        Laat q die stelling wees "'n student slaag sy eksamen"

        Laat r die stelling wees "'n student word 'n sertifikaat toegeken"

    'Die argument het die volgende strukturele vorm.

    p ⇒ q en q ⇒ r ∴ p ⇒ r

    Hierdie argument volg die kettingreëlskakel, daarom word gesê dat dit geldig is.

    Ex II:     Oorweeg die argumente

        T 1 : Soldate word gedissiplineer

        T 2 : Goeie leiers is gedissiplineerde manne

        T 3 : Soldate is goeie leiers.

       

        OPLOSSING

        Laat p die stelling 'X is 'n verkoper' wees

        Laat q die stelling wees 'X is 'n gedissiplineerde man'

        Laat r die stelling wees 'X is 'n goeie leier'

    Die argument het die volgende strukturele vorm.

        T 1 : p ⇒ q

        T 2 : r ⇒ q

        T 3 : p ⇒ r

    Die argument volg nie die formaat van die kettingreël nie, dus is dit nie geldig nie.

       

EVALUERING

Gee 'n uiteensetting van die strukturele vorm van die volgende argumente en meld of dit geldig is of nie.

T 1 : Dit is nodig om gesond te bly om lank te lewe.

T 2 : Dit is nodig om gebalanseerde dieet te eet om gesond te bly.

T 3 : Dit is nodig om gebalanseerde dieet te eet om lank te lewe.

ALGEMENE EVALUERING

1. Bepaal watter van die volgende waar en watter onwaar is.

1. (5 = 8 - 2) (4 + 7 = 11)
2. (15 > 10) (0 > - 12)
3. (3, 4, 5) is 'n Pythagoriese driedubbels of (9, 12, 15) is 'n Pythagoriese driedubbels.

1. Skryf die omgekeerde en die omgekeerde van die volgende implikasies neer:

1. As die bus 'n bestuurder het, kan die bus die passasiers vervoer.
2. M ⟹ N
3. A ⟹∽B

LEESOPDRAG

WABP Essential Mathematics bladsy 189 – 190 oefening 14.3 no 5 – 10

NAWEEKOPDRAG

P is die stelling 'Ayo het vasberadenheid en q is die stelling 'Ayo sal slaag'. Gebruik hierdie inligting om hierdie vrae te beantwoord.

Watter van hierdie simbole verteenwoordig hierdie stellings?

1. Ayo het geen vasberadenheid nie.
2. P ⇒ q B. ~ p ⇒ q C. ~ bl
3. As Ayo geen vasberadenheid het nie, sal hy nie slaag nie.
4. ~p ⇒~ q B. p ⇒~ q C. p ⇒ q D. p ⇒~ q
5. As Ayo nie sal slaag nie, het hy geen vasberadenheid nie.
6. ~q ⇒ p B. ~q ⇒~q C. ~q ⇒ p D. q ⇒ p
7. As Ayo vasberadenheid het, sal hy slaag.
8. ~p ⇒ q B. ~p ⇒~ q C. ~q ⇒~ p D. p ⇒ q
9. As Ayo geen vasberadenheid het nie, sal hy slaag.
10. ~p ⇒ q B. ~q ⇒~ p C. ~p D. ~p ⇒~ q

TEORIE

1. Skryf die inverse, omgekeerde en kontrapositiewe van elk van hierdie stellings neer.

(i)     As die bankwerkers hard werk, sal hulle voldoende vergoed word.

(ii)     As hy nederig en biddend is, sal hy God se guns ontmoet.

(iii)     As hy 'n goeie voorbeeld stel, sal hy 'n goeie volgeling kry.

2. Vind die waarheidswaarde van hierdie stellings.
3. As 11 > 8 dan -1< -8
4. As 3 + 4 ≠ 10 dan 2 + 3 ≠ 5