Lesnotas volgens weke en kwartaal - Senior Seconder 1

VAK: WISKUNDE

KLAS: SS 1

DATUM:

KWARTAAL: 1ste KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

• Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1     MF Macrae et al

WEEK TIEN

ONDERWERP: EENVOUDIGE VERGELYKING EN VARIASIES

INHOUD

• Verandering van onderwerp van formules

• Tipes variasie soos: direk, omgekeerd, gesamentlik en gedeeltelik

• Toepassing van variasies

VERGELYKINGS

'n Vergelyking is 'n stelling van twee algebraïese uitdrukkings wat gelyk is in waarde. Byvoorbeeld, 4 – 4x = 9 – 12x is 'n lineêre vergelyking met 'n onbekende x. hierdie vergelyking is slegs waar wanneer x 'n bepaalde numeriese waarde het. Om 'n vergelyking op te los beteken om die reële getalwaarde van die onbekende te vind wat die vergelyking waar maak.

Voorbeeld 1

Los 4 – 4x op = 9 – 12x

4 – 4x = 9 – 12x

Tel 12x by albei kante van die vergelyking.

4 – 4x + 12x = 9 – 12x + 12x

4 + 8x = 9

Trek 4 van beide kante van die vergelyking af.

4 + 8x – 4 = 9 – 4

8x = 5

Beide kante van die vergelyking gedeel deur 8

8x 8 = 5

x = 5 8

5 8 is die oplossing of wortel van die vergelyking.

Kontroleer: wanneer x = 5 8 ,

LHS = 4 – 4 x 5 8 = 4 - 2 1 2 = 1 1 2

RHS = 9 – 12 x 5 8 = 9 - 7 1 2 = 1 1 2 = LHS

Die vergelyking in Voorbeeld 1 is deur die balansmetode opgelos. Vergelyk die vergelyking met 'n paar verkope. As die uitdrukkings aan teenoorgestelde kante van die gelykes teken 'balans', sal hulle voortgaan om dit te doen as dieselfde bedrae by albei kante opgetel of afgetrek word. Hulle sal ook balanseer as beide kante met dieselfde bedrae vermenigvuldig of gedeel word.

Voorbeeld 2

Los 3(4c - 7) – 4(4c - 1) = 0 op

Verwyder hakies.

12c – 21 – 16c + 4 = 0

Versamel soortgelyke terme.

    -4c – 17 = 0

Voeg 17 aan albei kante by

    -4c = 17

Beide kante gedeel deur -4.

    C = - 17 4

    C = -4 1 4 ,

Kontroleer: Wanneer c = -4 1 4 ,

LHS = 3(-17 - 7) – 4(-17 - 1)

    = 3(-24) – 4(-18)

    -72 + 72 = 0 = RHS

EVALUERING

Los die volgende vergelykings op

1. 2 – 5t = 20 – 8t
2. d = 12 – (11 + 4d)
3. 2 1 3 d = 28

Verandering van Onderwerp van Formules

As dit dikwels nodig is om die onderwerp van 'n formule te verander. Om dit te doen, dink aan die formule as 'n vergelyking. Los die vergelyking op vir die letter wat die onderwerp gaan word. Die volgende voorbeelde wys hoe verskeie formules herrangskik kan word om die onderwerp te verander.

Voorbeeld 1

Maak x die onderwerp van die formule a = b(a - x)

Duidelike hakies.

a = b –bx

herrangskik om terme in x aan die een kant van die vergelyking te gee.

bx = b – a

deel beide kante deur b.

x = b - a b

Voorbeeld 2

maak x die onderwerp van die formule a = b + x b - x

a = b + x b - x

duidelike breuke. Vermenigvuldig beide kante met (b – x)

ab – ax = b + x

versamel terme in x aan die een kant van die vergelyking.

ab – b = ax + x

neem x buite 'n hakie (faktoriseer).

ab – b = x(a + 1)

deel beide kante met (a + 1).

ab - x a - 1 = x

    ∴ x = ab - b a - 1 = b(a - 1) a - 1

Voorbeeld 3

Maak x die onderwerp van die formule

b = 1 2 a 2 - x 2

duidelike breuke.

    2b = a 2 - x 2

Vierkant albei kante.

(2b) 2 = a 2 – x 2

4b 2 = a 2 – x 2

Herrangskik om die term in x aan die een kant van die vergelyking te gee.

x 2 = a 2 – 4b 2

Neem die vierkantswortel van albei kante.

x = ± a 2 - 4b 2

Die algemene metode van Voorbeeld 1, 2 en 3 is om die formule as 'n vergelyking te hanteer en die nuwe onderwerp as die onbekende van die vergelyking.

Daar is baie verskillende formules. Daarom is dit nie moontlik om algemene reëls vir die verandering van hul onderwerp te gee nie. Onthou egter die volgende:

1. Begin deur breuke, hakies en wortel skoon te maak
2. Herrangskik die formule sodat al die terme wat die nuwe onderwerp bevat aan die een kant van die gelykheidsteken is en die res aan die ander kant. Moenie probeer om die onderwerp aan die linkerkant te plaas as dit meer natuurlik aan die regterkant kom nie
3. As meer as een term die onderwerp bevat, neem dit buite 'n hakie (dws faktoriseer)
4. Verdeel albei kante deur die hakie, vereenvoudig dan so ver as moontlik.

EVALUERING

Maak x die onderwerp van die volgende vergelykings.

1. x(a - b) = b(c - x)

1. x 2 - a 2 = b
2. (byl – b)(bx + a) = (bx 2 + a)a

Tipes variasie soos: direk, omgekeerd, gesamentlik en gedeeltelik

Direkte variasie

As 'n persoon 'n paar pakkies suiker koop, is die totale koste eweredig aan die aantal pakkies wat gekoop is

Die koste van 2 pakkies atNx per pakkie is N2x

Die koste van 3 pakkies teen Nx per pakkie is N3x.

Die koste van n pakkies teen Nx per pakkie is Nnx.

Dus, die verhouding van totale koste tot aantal pakkies is dieselfde vir enige aantal pakkies wat gekoop word.

Hierdie is albei voorbeelde van direkte variasie, of direkte proporsie. In die eerste voorbeeld wissel die koste, C, direk met die aantal pakkies, n.

Voorbeeld 1

As 1 pakkie suiker x naira kos, wat sal die koste van 20 pakkies wees?

Koste wissel direk met die aantal pakkies wat gekoop word.

Koste van 1 pakkie = x naira

Koste van 20 pakkies = 20 xn naira

            = 20x naira

Voorbeeld 2

As C n en C = 5 wanneer n = 20, vind die formule wat C en n verbind.

C n beteken C n is konstant.

Laat hierdie konstante k wees.

Dan, C n = k

Of C = kn

    C = 5 wanneer n = 20

Dus 5 = kx 20

    k = 1 2

dus, C = 1 4 n is die formule wat C en n verbind.

'n formule soos C = 1 4 n staan dikwels bekend as 'n verband tussen die veranderlikes C en n.

Voorbeeld 3

As M L en M = 6 wanneer L = 2, vind

1. Die verhouding tussen M en L,
2. Die waarde van L wanneer M = 15.

1. As M L, dan is M =kL wanneer k 'n konstante is.

M = kL

Wanneer M = 6, L = 2

Dus, 6 = kx 2

K = 3

Daarom is M = 3L die verwantskap tussen M en L.

1. M = 3L en M = 15,

Dus 15 = 3L

L = 5

EVALUERING

1. As P Q en P = 4.5 wanneer Q = 12, vind
1. Die verhouding tussen P en Q
2. P wanneer Q = 16
3. Q wanneer P = 2.4

Omgekeerde variasie

1. 5 gelyke sektore,         b. 12 gelyke sektore.

Fig 1                     Fig 2

In fig 1 is daar 5 gelyke sektore in die sirkel. Die hoek van elke sektor is 72 o .

In fig 2 is daar 12 gelyke sektore in die sirkel. Die hoek van elke sektor is 30 o .

As daar 18 sektore is, sal die hoek van elke sektor 20 o wees .

Daarom, hoe groter die aantal sektore, hoe kleiner is die hoek van elke sektor.

Ooreenkomstig, as 'n motor 'n sekere afstand aflê, hoe groter sy gemiddelde spoed, hoe minder tyd sal dit neem.

Hierdie is albei voorbeelde van inverse variasie, of omgekeerde proporsie. Soms bekend as indirekte variasie. In die eerste voorbeeld wissel die grootte van die hoek, , omgekeerd met die aantal sektore, n. in die tweede is die tyd geneem, T, omgekeerd eweredig aan die gemiddelde spoed, S. hierdie stelling word geskryf:

θ∝ 1 n         T ∝ 1 S

Voorbeeld 1

As θ∝ 1 n en     = 72 wanneer n = 5, vind

1. wanneer n = 12
2. n wanneer = 8

Eerstens: vind die verband tussen θ en n

θ ∝ 1 n beteken θ= k n waar k 'n konstante is.

θ= K n

Wanneer = 72, n = 5

Dus, 72 = K 5

K = 5 x 72 = 360

Dus, θ= 360 n

1. θ= 360 n

Wanneer n = 12,

θ= 360 12 = 30

1. As θ= 360 n dan is n= 360 .

Wanneer = 8,

n= 360 8 =45

Gesamentlike variasie

Die massa van 'n plaat metaal is eweredig aan beide die oppervlakte en die dikte van die metaal. Daarom M At (waar M, A en t die massa, oppervlakte en dikte is). Dit is 'n voorbeeld van gesamentlike variasie. Die massa wissel saam met die oppervlakte en dikte.

Voorbeeld 1

Y varieer omgekeerd soos X 2 en X verander direk as Z 2 . Vind die verwantskap tussen Y en Z, gegewe C is 'n konstante.

Uit die eerste sin:

Y ∝ 1 X 2 en X Z 2

Of Y = A X 2 en X = BZ 2

Waar A en B konstantes is.

Vervang BZ 2 vir X in Y = A X 2

Y = A (B Z 2 ) 2 = A B 2 Z 4

Of Y = C Z 4 waar C 'n konstante = ( A B 2 ) is

Dus wissel Y omgekeerd as Z 4 .

(Alternatiewelik, YZ 4 = C)

EVALUERING

1. 'n Reghoek het 'n konstante oppervlakte, A. sy lengte is l en sy breedte is b.
1. Skryf 'n formule vir l in terme van A en b
2. Skryf 'n formule vir b in terme van A en l.
3. Varieer l omgekeerd of direk met b?

Gedeeltelike variasie

Wanneer 'n kleremaker 'n rok maak, hang die totale koste van twee dinge af: eerstens die koste van die lap; tweedens die hoeveelheid tyd wat dit neem om die rok te maak. Die koste van die lap is konstant, maar die tyd wat dit neem om die rok te maak, kan verskil. 'n Eenvoudige rok sal 'n kort tydjie neem om te maak; 'n rok met 'n moeilike patroon sal lank neem. Dit is 'n voorbeeld van paritale variasie. Die koste is deels konstant en deels wissel met die hoeveelheid tyd wat dit neem. In algebraïes vanaf, C= a + kt, waar C die koste is, t die tyd wat geneem word en a en k konstantes is.

Voorbeeld 1

R is deels konstant en wissel deels met E. wanneer R = 350, E = 1,600 en wanneer R = 730, E = 3,600.

• Vind die formule wat R en E verbind.

• Vind R wanneer E = 1300

a.Vanaf die eerste sin,

    R = c + KE waar c en k konstantes is. Die vervanging van die gegewe waardes gee twee vergelykings.

    530 = c + 1600k     (1)

    730 = c + 3600k     (2)

Dit is gelyktydige vergelykings.

Trek (1) af van (2)

200 = 2000k

K = 200 2000 = 1 10

Vervang in (1),

530 = c + 1600 x 1 10

530 = c + 160

Dus, c = 370

Dus, R = 370 + 1 10 E is die vereiste formule.

1. R = 370 + E 10

wanneer E = 1300,

    R = 370 + 1300 10

    = 370 + 130

    = 500

EVALUERING

• Die koste van 'n motordiens is deels konstant en wissel deels met tyd wat dit neem om die werk te doen. Dit het N3, 500 gekos vir 'n 5 1 2 uur diens en N2, 900 vir 'n 4-uur diens.

• Vind die formule verbind koste, NC met tyd, T uur

• Vind dus die koste van 'n 7 1 2 uur diens.

1. X is deels konstant en deels varieer soos y. wanneer y = 2, x = 30, en wanneer y = 6, x = 50.
1. Vind die verband tussen x en y.
2. Vind x wanneer y = 3

ALGEMENE EVALUERING

1. As 'n man 15 km in 1 uur fietsry, hoe ver sal hy in twee uur fietsry as hy dieselfde tempo aanhou?
2. 'n Stuk tou word in n stukke van gelyke lengte l gesny.
1. Varieer n direk of omgekeerd met l?
3. Die massa rys wat elke vrou kry wanneer hulle 'n sak deel, wissel omgekeerd met die aantal vroue. As daar 20 vroue is, kry elkeen 6 kg rys. As daar nege vroue is, hoeveel kry elkeen?

LEESOPDRAG

Nuwe Algemene Wiskunde SSS 1 bladsye 220 Oefening 18a 11 – 15

NAWEEKOPDRAG

x y z wanneer y = 7 en z = 3, x = 42.

1. Vind die verband tussen x, y en z A. y = xz B. x = y/z C. x = 18y/z D. y = 18xz
2. Vind x wanneer y = 5 en z = 9 A. 20 B. 5 C. 2 D. 10
3. Watter van die volgende gee die korrekte uitdrukkings vir inverse variasie A. x = ky B. x = k/y C. x = kyz D. x = 1/y
4. As r 1/T en T = 8 wanneer R = 4, vind die verwantskap tussen R en T A. R = 32/T B. R = 32T C. R = T/32 D. 32 = R
5. As D omgekeerd as T verskil, gebruik die simbool om 'n verband tussen d en t te wys. A. d t B. d 1/t C. d = 1/2t D. d = 1/t

TEORIE

1. Die aantal stene, b, wat 'n man kan dra, wissel omgekeerd met die massa van elke baksteen, m kg, vind die verband tussen b en m. vind dus die aantal 3 1 2 kg stene wat hy kan dra.
2. As x – 3 direk eweredig is aan die kwadraat van y en x = 5 wanneer y = 2, vind x wanneer y = 6