VAK: WISKUNDE

KLAS: JSS 3

DATUM:

KWARTAAL: 1ste KWARTAAL

VERWYSINGSBOEKE

Nuwe Algemene Wiskunde deur M. F Macrae et al bk 3
Essential Maths deur AJS OluwasanmiBk 3

WEEK VYF

ONDERWERP: RASIONELE EN NIE-RASIONELE GETALLE EN SAAMGESTELDE RENTE

RASIONELE EN NIE-RASIONELE GETALLE

Getalle wat as presiese breuke of verhoudings in die vorm P Q geskryf kan word , word rasionale getalle genoem . Byvoorbeeld, ons kan hierdie getalle 8, 3 1 2 , 1 5 , 0.31, 16 9 , 0.1 skryf as 8 1 , 7 2 , 1 5 , 31 100 , 4 3 , 1 10 .

Daarbenewens is rasionale getalle ook getalle wat as herhalende desimale geskryf kan word, byvoorbeeld: 17 99 , 4 11 , 10 3 is onderskeidelik ekwivalent aan die volgende: 0.17171717 , 0.36363636 , 3.333333 , ens.

Ons kan ook herhalende desimale as 0. 17 , 0. 36 , 0. 3 skryf . Getalle wat nie as presiese breuke of herhalende desimale geskryf kan word nie, word nie-rasionale getalle genoem . Voorbeelde van nie-rasionale getalle is 7 =2.645751 , 17 =4.1231056256 , 29 =5.38516480713 .

VIERKANTWORTELS

Aangesien rasionale getalle nie volmaakte vierkante is nie, kan hul vierkantswortels dus nie maklik verkry word nie, behalwe deur die proef-en-foutmetode of deur die gebruik van Tabel van Vierkantswortels in die viersyfertabel.

Voorbeeld 1:

Vind 17 tot drie beduidende figure deur die gebruik van tabelle.

Oplossing:

17 gee 4.123 uit die tabel. Die antwoord is dus 4.12 tot 3 sf .

Voorbeeld 2:

Vind 293 tot die naaste tiende deur die gebruik van tabelle.

Oplossing:

293 is gelykstaande aan 2,93 X100 . Dit is gelyk aan 2,93 X 100 . Ons kan nou 2,93 uit die tabel opsoek om 1,712 te gee . Sodat 293 = 2,93 X100 = 2,93 X 100 =1,712X10=17,12 .

Die antwoord is dus 17.1 tot die naaste tiende.

EVALUERING

Watter van die volgende is 'n irrasionale getal? a 0,243 ⃛ b 2 3 c 11
Watter van die volgende is 'n rasionale getal? a 0,24578343 b 5 -15 c 11
Vind die vierkantswortel van 7562 en laat jou antwoord in een desimale plek.

DIREKTE EN OMKEERDE VARIASIE

DIREKTE VARIASIE

Dit word gebruik om hoeveelhede te beskryf wat in verhoudings tot mekaar verskil, soos wat die een toeneem, die ander toeneem, en as die een afneem, die ander afneem. Dus, as P direk as R varieer, dan word die uitdrukking simbolies P∝R . Die uitdrukking kan nou in vergelykingsvorm geskryf word as

P=KR

Waar is vervang deur "=en K".K is 'n konstante van variasie. Dit kan ook uitgedruk word as

K= P R

Die vergelyking P=KR is die variasievergelyking.

Voorbeeld 1:

As p direk as die kwadraat van q varieer , vind die wet van variasie tussen p en q gegee dat p=27 wanneer q=3. Vind die waarde van p wanneer q 2 is en die waarde van q wanneer p 48 is.

Oplossing:

p∝ q 2 ∴p=k q 2

k= p q 2 = 27 3 2 = 27 9 =3 en die wet van variasie word p=3 q 2

Vir q=2 gee substitusie p=3 q 2 =3 2 2 =3 X 4=12 .

Dan p=12 .

Vir p=48 gee substitusie 48=3 q 2

sodanig dat q 2 = 48 3 =16

dan q= 16 =4

GRAFIESE VOORSTELLING VAN DIREKTE VARIASIE

Data wat ingesamel is uit hoeveelhede wat direk wissel, kan grafies voorgestel word. Dit sal 'n reguitlyngrafiek deur die oorsprong gee soos hieronder getoon.

Voorbeeld 2:

Aangesien afstand direk met tyd verskil, oorweeg die tabel hieronder en teken 'n grafiek vir so 'n verband.

Afstand	5	10	15	20	25
Tyd	1	2	3	4	5

Oplossing:

EVALUERING

D wissel direk as P en D=0.2 wanneer P=10. Vind D wanneer P=18.
As P vanaf vraag 1 met 30% toeneem , vind die persentasie verandering in D .

INVERSE VARIASIE

Hierdie variasie beteken dat verwante hoeveelhede omgekeerd of as wederkerig tot mekaar verskil. Dus, soos die een toeneem, verminder die ander; en soos die een afneem, neem die ander toe. As T dus omgekeerd as S varieer , word dit simbolies geskryf as T∝ 1 S . Die uitdrukking kan nou in vergelykingsvorm geskryf word as T= K S .

Waar is vervang deur "=en K".K is 'n konstante van variasie. Dit kan ook uitgedruk word as

K=TS

Die vergelyking T= K S is die variasievergelyking.

Voorbeeld 3:

Gegee dat T omgekeerd eweredig is aan S , en dat T=2 wanneer S = 60 , vind die (a) verband tussen T en S. (b) waarde van T wanneer S=90.

Oplossing:

T∝ 1 S sodat T= K S en K=TS=2 60 =120.

(a) T= 120 S is die vereiste verwantskap tussen T en S. (b) T= 120 90 = 4 3 =1 1 3

EVALUERING

Die stroom I in in 'n elektriese stroombaan wissel omgekeerd met die weerstand R. As 'n stroom van 10A deur 'n weerstand van 20Ω geproduseer word , watter stroom sal deur 'n weerstand van 80Ω geproduseer word ?
Vind die persentasie verandering in die stroom vanaf vraag (1) as die weerstand met 10% verminder word

GRAFIESE VOORSTELLING VAN INVERSE VARIASIE

Die grafiek hier sal nie 'n reguit lyn vanaf die oorsprong wees nie, maar dit sal vir ons 'n kromme gee.

Spoed	80	40	20	10	5
Tyd	0,5	1	2	4	8

Voorbeeld 4:Gegewe dat spoed S omgekeerd tot tyd t wissel , gebruik die onderstaande tabel om 'n grafiek van 'n omgekeerde verwantskap tussen S en t te teken.

Oplossing:

ALGEMENE EVALUERING

Faktoriseer die uitdrukking p 2 -6p+16
Faktoriseer 'n 2 -8a-a+8
Wat is die waarde van die syfer 5 in die 734.95 ?
Wat is die hoogste gemeenskaplike faktor van 8,9 en 12 ?
Vereenvoudig 7a- 4b+3c -3b

LEESOPDRAG

Essential Mathematics for JSS 3 deur Oluwasanmi AJS 2014-uitgawe; Bladsye 49-53

Essential Mathematics Workbook for JSS 3 deur Oluwasanmi AJS; Oefening 7.1, nommers 1-5

NAWEEKOPDRAG

As x∝y en x=2 wanneer y=4, vind die waarde van x wanneer y=8 . A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
x∝ 1 y en x=3 wanneer y=4, vind die waarde van y wanneer x=6 . A. 2 B. 4 C. 5 D.6
As p direk wissel as q en p=5,q=10, wat is die waarde van p wanneer q=40 ?

20 B. 10 C. 5 D.6

m∝ 1 n en m=4 wanneer n=120. Vind die verband tussen m en n.

m= 120 n B. m= 480 n C. n= 480 m D. m = n 480

Vind die waarde van m wanneer n = 80 . A. 6 0 B. 120 C. 48 D.84

TEORIE

R∝h en R=5 wanneer h=12, vind (a) h wanneer R=45 (b) die persentasie verandering in R as h met 25% toeneem .
Wanneer 'n lening terugbetaal word, wissel die aantal maandelikse betalings, m , omgekeerd met die bedrag van elke betaling, N a . Die lening kan terugbetaal word deur 10 maandelikse betaling van N 1350. Vind die formule wat m en a verbind . Vind dus hoe lank dit neem om die lening terug te betaal met maandelikse paaiemente van N 750.

GESAMENTLIKE EN GEDEELTELIKE VARIASIE

GESAMENTLIKE VARIASIE

Gesamentlike variasie word verkry wanneer 'n hoeveelheid varieer met meer as een ander hoeveelheid hetsy direk en/of omgekeerd. Byvoorbeeld, P is gesamentlik eweredig aan beide Q en G soos in P∝QG . Ook is H direk eweredig aan Y en omgekeerd eweredig aan M soos in H∝ Y M .

Voorbeeld 1:

As H∝ Y M .Wanneer H=42,Y=7 en M=3.

Vind die verband tussen H, Y en M.
Vind H wanneer Y=5 en M=9.

Oplossing:

H∝ Y M en H=K J M

Na vervanging het ons K= HM Y = 42 X 3 7 =18

Die verband tussen hulle word gegee deur H=18 Y M

H=18 Y M =18 X 5 9 =10

Voorbeeld 2:

Die universele gaswet bepaal dat die volume V m 3 van 'n gegewe massa van 'n ideale gas direk wissel met sy absolute temperatuur T K en omgekeerd met sy druk P N/ m 2 . 'n Sekere massa gas by 'n absolute temperatuur 425K en druk 1000N/ m 2 het 'n volume 0,255 m 3 . Vind:

die formule wat P,V en T verbind .
die druk van die gas wanneer sy absolute temperatuur 720K is en sy volume is 0,018m 3

Oplossing:

V∝ T P en V=K T P , sodat K= PV T

Deur die waardes te vervang, word K K= 1000 X 0,255 425 = 255 425 = 51 85 = 3 5

en die verwantskap is V= 3T 5P

0,018= 3 X 720 5 XP

P= 3 X 720 5 X 0,018 = 3 X 720000 5 X 18 = 3 X 40000 5 =3 X 8000=24 000N/ m 2

EVALUERING

Gestel Z x 2 y . Wanneer x=3, y=2 en Z=36. Vind Z wanneer x=4 en y=2 1 16 .
Vind die persentasie verandering in Z wanneer x met 20% toeneem en y met 10% afneem .

GEDEELTE VARIASIE

Gedeeltelike variasieprobleme kom oral om ons voor. Enkele voorbeelde word hieronder beskryf:

Wanneer 'n haarkapper hare maak, is die geld wat hy/sy M vra , afhanklik van beide die koste van die wol (draad of weef in sommige gevalle) C wat konstant is, en van die tyd T wat geneem word om die hare te maak. Hoe minder die weefwerk, hoe minder tyd sal dit neem om te voltooi en hoe minder die ladings. Ons kan 'n parsiële vergelyking hiervoor skryf as: M=C+bT , waar C en b konstantes is.
Huishoudelike elektrisiteitsvoorafbetaalde meterrekeninge word op twee komponente voorberei, naamlik N 750- huurheffing (onafhanklik van die hoeveelheid krag verbruik) en verbruiksheffings (afhanklik van die hoeveelheid krag verbruik). Ons kan ook die totale rekening T in parsiële vergelyking skryf as: T=750+bT , waar N 750 en b konstantes is, afhangende van die kliënt.

Gedeeltelike variasiestellings kan dus in hierdie formate kom wat hieronder beskryf word:

W is deels konstant en deels varieer aangesien G geïnterpreteer word as W=a+bG
V wissel deels as P en deels omgekeerd aangesien Q ook geïnterpreteer kan word as V=aP+ b Q

In hierdie gevalle is a en b konstantes wat gelyktydig verkry kan word.

Voorbeeld 3:

x is deels konstant en varieer deels as die kwadraat van y. Skryf 'n vergelyking wat x en y verbind. Gegee dat wanneer x=3, y=4 en wanneer x=1, y=5. Skryf die wet van variasie neer. Vind x wanneer y=2.

Oplossing:

Die vergelyking wat x en y verbind is x=a+b y 2 , waar a en b konstantes is.

Wanneer x=3, y=4 , 3=a+b (4) 2 word

3=a+16b-----vergelyking (i)

Wanneer x=1, y=5 , het ons 1=a+b (5) 2 word

1=a+25b-----vergelyking (ii)

Deur die twee vergelykings te kombineer en gelyktydig op te los,

a+16b=3

a+25b =1

Aftrek: -9b=2 en b= -2 9

Vervang b= -2 9 in vergelyking (i) sodat a+16( -2 9 )=3

en a= 3 1 + 32 9 = 27+32 9 = 59 9 . Die wet van variasie word x= 59 9 - 2 9 y 2

Wanneer y=2,x word x= 59 9 - 2 9 2 2 = 59 9 - 8 9 = 51 9

Voorbeeld 4:

T varieer so deels as V en deels as die kubus van V . Wanneer T=30, V=2 en wanneer T=15, V=3 . Skryf die wet wat T en V verbind . Vind T wanneer V=4.

Oplossing:

Die vergelyking wat T en V verbind is T=aV+b V 3 , waar a en b konstantes is.

wanneer T=30, V=2 , 30=2a+b (2) 3 word

30=2a+8b -----vergelyking (i)

wanneer T=15,V=3 , 15=3a+b (3) 3 word

15=3a+27b-----vergelyking (ii)

Kombineer die twee vergelykings en los gelyktydig op om a,

30=2a+8b-----vergelyking (i)X 3

15=3a+27b-----vergelyking (ii) X 2

6a+24b=90

6a+54b=30

Aftrek: -30b=60 en b= 60 -30 =-2

Alternatiewelik, deling deur vergelyking (i) deur 2 , gee 15=a+4b en deling deur vergelyking (ii) deur 3 , gee 5=a+9b .

Toe,
a+4b=15

a+9b=5

Aftrek: -5b=10

En b=-2 soos hierbo verkry.

Vervang b=-2 in vergelyking (i) , sodat 30=2a+8(-2) en 30=2a-16

Sodat a= 46 2 =23 . Die wet van variasie word T=23V-2 V 3

Wanneer V=4,T word T=23 4 -2 4 3 =23 4 -2 64 =92-128=-36

Voorbeeld 5:

Die koste in naira om 'n rok te maak is deels konstant en wissel deels met die hoeveelheid tyd in ure wat dit neem om die rok te maak. As die rok 3 uur neem om te maak, kos dit N 2700, en as dit 5 uur neem om die rok te maak, kos dit N 3100. Vind die koste as dit 1 1 2 uur neem om die rok te maak.

Oplossing:

Deur C en T te gebruik om onderskeidelik die koste en tyd voor te stel, kan ons voortgaan deur C=a+bT te skryf

Van die eerste stelling: 2700=a+3b

Uit tweede stelling: 3100=a+5b

Die oplossing van die gelyktydige,
a+3b=2700

a+5b=3100

Aftrek: -2b=-400 en b= -400 -2 =200

Vervang b=200 in vergelyking (ii) sodat 3100=a+5(200)

en 3100=a+1000 .

Sodat a=2100 . Die wet van variasie word C=2100+200T

As dit 1 1 2 ure neem om die rok te maak, word die koste C=2100+200 1.5 =2100+300= N 2400

EVALUERING

Z varieer deels direk met x en deels omgekeerd met y. Wanneer Z=4,x=3,y=1 en wanneer Z=3,x=0.5,y=5. . Vind Z wanneer x=29,y=10
'n Eksamenfooi is deels konstant en wissel deels met die aantal vakke wat ingeskryf word. Wanneer die eksamenfooi N 800 is, word drie vakke ingeskryf. Wanneer die fooi N 1200 is , word vyf vakke ingeskryf. Vind die aantal vakke wat ingeskryf is as die fooi N 1400 is.

ALGEMENE EVALUERING

Druk 954 kg in ton uit.
Druk 0,35 in breuk uit in sy laagste term.
Wat is die som van N x en y kobo uitgedruk in kobo?
Faktoriseer 25x 2 -1

'n Handelaar gee 8% afslag op 'n artikel in sy kiosk gemerk N 1250.00 . Hoeveel sal 'n kliënt op so 'n artikel betaal?

LEESOPDRAG

Essential Mathematics for JSS 3 deur Oluwasanmi AJS 2014-uitgawe; Bladsye 49-53

Essential Mathematics Workbook for JSS 3 deur Oluwasanmi AJS; Oefening 7.2 , nommers 1-12.

NAWEEKOPDRAG

X AB en X=1 wanneer A=B=3. Vind X wanneer A=6 en B=2 . A. 1 9 B. 4 3 C. 3 4 D. 5
In die vraag hierbo. A. X neem toe met 23.5% B. X neem af met 23.5% C. X neem toe met 25.0% D. X neem af met 25%
X is deels konstant en deels varieer met y. Hierdie is stelling kan voorgestel word as

P=a+by B. P=a+b C. Y=a+py D. P = a + y

As A B en B C 2 , dan A. A∝C B. A C 2 C. A 2 C 2 D. B α C
Hoeveel konstantes het ons in gedeeltelike variasie? A. 1 B. 2 C. 3 D.6

TEORIE

As A BC en wanneer B=4,C=9, A=6, bereken

(a) A wanneer B=3 en C=10 ; (b) C wanneer A=20 en B=15.

Die heffing vir 'n paar skoene is deels konstant en wissel deels soos die aantal paar skoene. As 90 pare N 1120 kos en die koste van 120 pare N 1216 is . Vind die koste vir 150 pare.

ALGEMENE EVALUERING

Maak L die onderwerp van die formule A=πrL+π r 2
Verander 84 in basis tien na 'n getal in basis twee.

Stel -1<x≤3 op die getallelyn voor.

Skakel 90 in 'n desimale getal om na 'n oktale getal.

’n Motor het 80 km in 48 minute gery. Wat is die spoed van die motor in /h ?

LEESOPDRAG

Essential Mathematics for JSS 3 deur Oluwasanmi AJS 2014-uitgawe; Bladsye 38-45, 49-53.

Essential Mathematics Workbook for JSS 3 deur Oluwasanmi AJS; Oefen. 7.1 , nommers 1-5; Oefening 5.1 , nommers 6-10 .

NAWEEKOPDRAG

Die enkelvoudige rente op N 7 000 vir 4 jaar teen 7 1 2 % is _________.

N 1 960 B. N 2 100 C. N 2 000 D. # 3 000

Die bedrag op bogenoemde vraag is A. N 8,960 B. N 9,100 C. N 9,000 D. #9,600
0.4054054054… kan ook geskryf word as A. 0. 4 B. 0.405 ̌ C. 0.405 ⃛ D. 0.405
Die vierkantswortel van 6,74 is A. 2.596 B. 26.94 C. 2.695 D. 2695
Watter van die volgende is 'n rasionale getal? A. 0,74578343 B. 1 -3 C. 11 D. 31`

TEORIE

Wat is die saamgestelde rente op N 8 000 geleen vir 2 jaar teen 20% koers?
Vind die vierkantswortel van 5720 en laat jou antwoord in een desimale plek.

Lesnotas volgens weke en kwartaal - Junior Seconder 3